Mathématiques · Seconde · Fonctions : Modélisation et Analyse · 2e Trimestre

Fonction Inverse et asymptotes

Les élèves étudient la fonction x -> 1/x, sa valeur interdite, ses variations et son comportement asymptotique.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee-FON-13
• EDNAT: Lycee-FON-14

À propos de ce thème

La fonction inverse x -> 1/x est la première fonction de référence que les élèves de Seconde rencontrent avec une valeur interdite et un comportement asymptotique. Son domaine de définition exclut 0, ce qui introduit la notion fondamentale de restriction de domaine dans le programme de l'Education Nationale.

L'étude de cette fonction permet d'aborder les asymptotes de manière intuitive : quand x se rapproche de 0, f(x) « explose » vers l'infini ; quand x tend vers l'infini, f(x) se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre. Les élèves découvrent ainsi les limites d'une représentation sur calculatrice, qui ne montre qu'une fenêtre finie.

Les applications physiques de la proportionnalité inverse (pression et volume d'un gaz, temps de trajet et vitesse) donnent du sens à cette fonction. Le travail en groupe sur des tableaux de valeurs, des tracés de courbes et des situations concrètes permet aux élèves de construire une intuition solide avant la formalisation.

Questions clés

1. Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro et quel est l'impact sur le domaine de définition de la fonction inverse ?
2. Comment se comporte la fonction inverse quand x tend vers l'infini ou vers zéro ?
3. Dans quels phénomènes physiques retrouve-t-on une proportionnalité inverse ?

Objectifs d'apprentissage

• Identifier la valeur interdite de la fonction inverse et justifier son exclusion du domaine de définition.
• Calculer les images et les antécédents de nombres non nuls par la fonction inverse.
• Analyser les variations de la fonction inverse sur ses intervalles de définition.
• Décrire le comportement de la fonction inverse lorsque la variable tend vers zéro ou vers l'infini, en utilisant le vocabulaire des asymptotes.
• Comparer la fonction inverse avec d'autres fonctions étudiées pour identifier des situations de proportionnalité inverse.

Avant de commencer

Nombres relatifs et opérations

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser les opérations sur les nombres positifs et négatifs, y compris la division, pour manipuler l'inverse.

Introduction aux fonctions

Pourquoi : La compréhension des concepts de fonction, d'image, d'antécédent et de représentation graphique est essentielle avant d'étudier une fonction spécifique.

Vocabulaire clé

Fonction inverse	La fonction qui associe à tout nombre réel non nul x son inverse 1/x.
Valeur interdite	Une valeur pour laquelle une expression mathématique n'est pas définie. Pour la fonction inverse, c'est 0.
Domaine de définition	L'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Pour la fonction inverse, c'est R privé de {0}.
Asymptote	Une droite vers laquelle une courbe se rapproche indéfiniment sans jamais la toucher. La fonction inverse admet deux asymptotes : l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Proportionnalité inverse	Relation entre deux grandeurs dont le produit reste constant. Quand l'une augmente, l'autre diminue dans les mêmes proportions.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Penser que 1/0 existe et vaut l'infini.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'infini n'est pas un nombre : 1/0 est indéfini. Le tableau de valeurs en groupe, où les élèves constatent que 1/x grandit sans limite quand x diminue, montre que « tendre vers l'infini » décrit un comportement, pas une valeur.

Idée reçue courante

Croire que la courbe de la fonction inverse touche les axes.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les axes sont des asymptotes : la courbe s'en approche indéfiniment sans les atteindre. L'exercice de zoom progressif rend visible cette propriété et aide à distinguer « très proche de 0 » de « égal à 0 ».

Idée reçue courante

Confondre fonction inverse (1/x) et fonction réciproque (inverse d'une fonction).

Ce qu'il faut enseigner à la place

La fonction inverse est x -> 1/x. La réciproque d'une fonction f est une fonction g telle que g(f(x)) = x. Le vocabulaire mathématique en français utilise le même mot pour deux concepts différents. Les activités de mise en contexte physique ancrent le sens de « inverse multiplicatif ».

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Pourquoi pas zéro ?

Les groupes complètent un tableau de valeurs de 1/x pour x allant de 10 à 0,001, puis de -0,001 à -10. Ils observent la divergence près de 0, tracent la courbe et formulent une explication de pourquoi x = 0 est interdit.

35 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Asymptote ou pas ?

L'enseignant projette des courbes dont certaines ont des asymptotes et d'autres non. Les élèves identifient individuellement les asymptotes, confrontent en binômes, puis la classe formalise la définition d'asymptote horizontale et verticale.

20 min·Binômes

Rotation par ateliers: Inversement proportionnel

Quatre stations présentent des contextes physiques : pression/volume d'un gaz (Boyle-Mariotte), temps de trajet/vitesse, partage d'un gâteau entre n personnes, dilution d'un produit. Les groupes modélisent chaque situation par la fonction inverse.

50 min·Petits groupes

Défi graphique : Zoomer sur l'asymptote

Les élèves tracent 1/x sur un grand intervalle, puis « zooment » sur le voisinage de 0 en changeant d'échelle. Ils observent que la courbe ne touche jamais les axes et rédigent une description du comportement asymptotique.

25 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• En physique, la loi de Boyle-Mariotte décrit la relation inverse entre la pression et le volume d'un gaz parfait à température constante (P * V = constante). Les ingénieurs chimistes utilisent cette relation pour concevoir des réacteurs et des systèmes de stockage de gaz.
• Dans les transports, le temps de trajet est inversement proportionnel à la vitesse moyenne pour une distance donnée (Temps = Distance / Vitesse). Les logisticiens calculent ainsi les temps de livraison optimaux en fonction des vitesses autorisées et des conditions de circulation.
• En électricité, la loi d'Ohm (U = R * I) peut être réécrite pour exprimer la conductance G = 1/R. La conductance est inversement proportionnelle à la résistance. Les techniciens en électronique analysent ces relations pour diagnostiquer des pannes ou choisir des composants.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Distribuez une feuille avec deux exercices : 1. Calculer f(5) et f(-1/3) pour f(x) = 1/x. 2. Expliquer pourquoi 0 n'appartient pas au domaine de définition de f(x) = 1/x.

Vérification rapide

Pendant la phase de découverte, demandez aux élèves de remplir un tableau de valeurs pour x allant de -5 à 5 (sauf 0). Posez des questions comme : 'Que se passe-t-il quand x se rapproche de 0 ?' et 'Que se passe-t-il quand x devient très grand ?'

Question de discussion

Présentez le graphique de la fonction inverse sans la nommer. Demandez aux élèves : 'Quelles propriétés pouvez-vous observer sur cette courbe ? Quelles droites semblent importantes pour décrire son comportement ?' Guidez la discussion vers les asymptotes.

Questions fréquentes

Pourquoi la division par zéro est-elle interdite en mathématiques ?

Si 1/0 existait et valait un nombre a, alors 0 x a devrait valoir 1. Or 0 multiplié par n'importe quel nombre donne 0, jamais 1. Il y a contradiction, donc 1/0 n'est pas défini. C'est pourquoi le domaine de la fonction inverse exclut 0.

Qu'est-ce qu'une asymptote de la fonction inverse ?

La droite x = 0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale : la courbe s'en approche indéfiniment quand x tend vers 0. La droite y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale : 1/x s'en approche quand x tend vers l'infini. La courbe ne touche jamais ces deux axes.

Dans quels phénomènes physiques retrouve-t-on la fonction inverse ?

La loi de Boyle-Mariotte (pression inversement proportionnelle au volume à température constante), la relation vitesse-temps pour une distance fixe, et la dilution d'un produit dans un volume d'eau croissant sont des exemples classiques. Ces contextes donnent du sens à l'étude de 1/x en Seconde.

Comment l'apprentissage actif aide-t-il à comprendre les asymptotes ?

Construire soi-même le tableau de valeurs et tracer la courbe, plutôt que d'observer un graphique tout fait, permet de « voir » la divergence. Le travail de zoom progressif en binômes et la modélisation de situations physiques en groupe ancrent l'intuition du comportement asymptotique.