Fonction Inverse et asymptotes

Les élèves découvrent ici une fonction qui rompt avec les précédentes par son domaine restreint et son comportement à l'infini. Travailler par investigation collaborative et rotation de stations active leur curiosité, car ces approches placent l'élève face à des contradictions apparentes (1/0 n'existe pas, mais la courbe semble s'en approcher).

• Seconde
• Mathématiques : Raisonnement et Modélisation
• 4 activités
• 20 min–50 min

Objectifs d’apprentissage

1. Identifier la valeur interdite de la fonction inverse et justifier son exclusion du domaine de définition.
2. Calculer les images et les antécédents de nombres non nuls par la fonction inverse.
3. Analyser les variations de la fonction inverse sur ses intervalles de définition.
4. Décrire le comportement de la fonction inverse lorsque la variable tend vers zéro ou vers l'infini, en utilisant le vocabulaire des asymptotes.
5. Comparer la fonction inverse avec d'autres fonctions étudiées pour identifier des situations de proportionnalité inverse.

Cercle de recherche

⏱ 35 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Pourquoi pas zéro ?

Les groupes complètent un tableau de valeurs de 1/x pour x allant de 10 à 0,001, puis de -0,001 à -10. Ils observent la divergence près de 0, tracent la courbe et formulent une explication de pourquoi x = 0 est interdit.

Préparation et détails

Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro et quel est l'impact sur le domaine de définition de la fonction inverse ?

Conseil de facilitation: Pendant l'activité 'Pourquoi pas zéro ?', insistez pour que chaque groupe produise un tableau de valeurs partagé sur une affiche, afin de visualiser ensemble la discontinuité en 0.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Asymptote ou pas ?

L'enseignant projette des courbes dont certaines ont des asymptotes et d'autres non. Les élèves identifient individuellement les asymptotes, confrontent en binômes, puis la classe formalise la définition d'asymptote horizontale et verticale.

Préparation et détails

Comment se comporte la fonction inverse quand x tend vers l'infini ou vers zéro ?

Conseil de facilitation: Lors du 'Penser-Partager-Présenter', demandez aux élèves de justifier leurs réponses par des arguments graphiques et numériques, pas seulement intuitifs.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Rotation par ateliers

⏱ 50 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Inversement proportionnel

Quatre stations présentent des contextes physiques : pression/volume d'un gaz (Boyle-Mariotte), temps de trajet/vitesse, partage d'un gâteau entre n personnes, dilution d'un produit. Les groupes modélisent chaque situation par la fonction inverse.

Préparation et détails

Dans quels phénomènes physiques retrouve-t-on une proportionnalité inverse ?

Conseil de facilitation: À la station 'Inversement proportionnel', imposez un temps de 5 minutes par exemple pour que chaque élève trace au moins deux points avant de discuter en groupe.

Setup: Tables ou bureaux organisés en 4 à 6 pôles distincts dans la salle

Materials: Fiches de consignes par station, Matériel spécifique à chaque activité, Minuteur pour les rotations

• Mémoriser
• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Séminaire socratique

⏱ 25 min·Binômes

Défi graphique : Zoomer sur l'asymptote

Les élèves tracent 1/x sur un grand intervalle, puis « zooment » sur le voisinage de 0 en changeant d'échelle. Ils observent que la courbe ne touche jamais les axes et rédigent une description du comportement asymptotique.

Préparation et détails

Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro et quel est l'impact sur le domaine de définition de la fonction inverse ?

Conseil de facilitation: Pour le 'Défi graphique', prévoyez des zooms successifs sur GeoGebra ou papier millimétré pour ancrer la notion d'asymptote comme limite atteinte à l'infini.

Setup: Chaises disposées en deux cercles concentriques

Materials: Question de départ ou problématique (projetée), Grille d'observation pour le cercle extérieur

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Conscience sociale
• Compétences relationnelles

Enseigner ce sujet

Commencez par une approche concrète : utilisez des exemples physiques où l'inverse apparaît naturellement (vitesse constante, dilution). Évitez de donner trop tôt la définition formelle des asymptotes. Privilégiez l'observation collective avant l'abstraction. Les recherches en didactique montrent que les élèves retiennent mieux quand ils formulent eux-mêmes les observations avant de les nommer.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, l'élève distingue clairement la valeur interdite 0 du concept d'asymptote, manipule correctement le tableau de valeurs pour observer les limites, et utilise un vocabulaire précis pour décrire les asymptotes verticale et horizontale de la fonction inverse.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Pendant l'activité 'Pourquoi pas zéro ?', surveillez les élèves qui écrivent 1/0 = ∞ dans leur tableau de valeurs.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Interrompez le travail et demandez à chaque groupe de compléter la phrase : 'Quand x se rapproche de 0 par la droite, 1/x devient...' afin qu'ils constatent que la valeur n'existe pas mais 'devient plus grande que n'importe quel nombre'.

Idée reçue courante

Pendant l'activité 'Penser-Partager-Présenter', surveillez les élèves qui affirment que la courbe 'touche' les axes.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez aux élèves de mesurer la distance entre la courbe et l'axe des abscisses pour x = 1 000 000 : ils verront que la différence, bien que petite, n'est jamais nulle.

Idée reçue courante

Pendant la station 'Rotation par ateliers : Inversement proportionnel', surveillez les élèves qui confondent fonction inverse et réciproque d'une fonction.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez à chaque binôme de donner un exemple concret de situation où on utilise 1/x (inverse multiplicatif) et un exemple où on utilise une réciproque (comme °C vers °F), puis classez les exemples au tableau.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Après l'activité 'Pourquoi pas zéro ?', distribuez une feuille avec deux exercices : 1. Calculer f(4) et f(-0,25) pour f(x) = 1/x. 2. Expliquer pourquoi 0 n'appartient pas au domaine de définition de f(x) = 1/x en utilisant le tableau de valeurs produit pendant l'activité.

Vérification rapide

Pendant la phase de découverte de l'activité 'Rotation par ateliers : Inversement proportionnel', demandez aux élèves de remplir un tableau de valeurs pour x allant de -4 à 4 (sauf 0). Posez des questions comme : 'Que se passe-t-il quand x se rapproche de 0 ?' et 'Que se passe-t-il quand x devient très grand ?' Collectez les réponses pour identifier les incompréhensions.

Question de discussion

Après le 'Défi graphique', présentez le graphique de la fonction inverse sans la nommer. Demandez aux élèves : 'Quelles propriétés pouvez-vous observer sur cette courbe ? Quelles droites semblent importantes pour décrire son comportement ?' Guidez la discussion vers les asymptotes en insistant sur le fait que la courbe ne les atteint jamais.

Extensions et étayage

• Défi : Proposez de comparer f(x) = 1/x avec g(x) = 1/(x-2) et demandez aux élèves de prédire puis vérifier les nouvelles asymptotes.
• Étayage : Pour les élèves en difficulté, fournissez un tableau de valeurs partiellement rempli pour les guider vers les observations clés.
• Approfondissement : Introduisez la notion de branche infinie et demandez aux élèves de classer différentes fonctions rationnelles selon leur comportement asymptotique.

Vocabulaire clé

Fonction inverse	La fonction qui associe à tout nombre réel non nul x son inverse 1/x.
Valeur interdite	Une valeur pour laquelle une expression mathématique n'est pas définie. Pour la fonction inverse, c'est 0.
Domaine de définition	L'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Pour la fonction inverse, c'est R privé de {0}.
Asymptote	Une droite vers laquelle une courbe se rapproche indéfiniment sans jamais la toucher. La fonction inverse admet deux asymptotes : l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Proportionnalité inverse	Relation entre deux grandeurs dont le produit reste constant. Quand l'une augmente, l'autre diminue dans les mêmes proportions.