Mathématiques · Seconde · Fonctions : Modélisation et Analyse · 2e Trimestre

Fonction Racine Carrée et son domaine

Les élèves analysent la fonction x -> √x, son domaine de définition, ses variations et sa représentation graphique.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee-FON-15
• EDNAT: Lycee-FON-16

À propos de ce thème

La fonction racine carrée x -> racine(x) est définie uniquement pour x positif ou nul, ce qui en fait un cas d'étude important pour la notion de domaine de définition en Seconde. Sa courbe, en forme de demi-parabole couchée, est strictement croissante mais sa croissance ralentit progressivement : la fonction « s'écrase » pour les grandes valeurs de x.

Les élèves étudient cette fonction dans le cadre du programme de l'Education Nationale comme troisième fonction de référence (après le carré et l'inverse). Le lien avec la fonction carré est géométrique : la courbe de racine(x) est la symétrique de la demi-parabole y = x² par rapport à la droite y = x, pour x positif.

Les activités pratiques (construction point par point, comparaison graphique avec la fonction carré, résolution d'équations par lecture graphique) permettent aux élèves de manipuler cette fonction et de comprendre ses propriétés par l'expérience plutôt que par la seule mémorisation.

Questions clés

1. Pourquoi la fonction racine carrée n'est-elle définie que pour les nombres positifs ?
2. Comment la courbe de la racine carrée 's'écrase-t-elle' pour les grandes valeurs de x ?
3. Quel est le lien géométrique entre la fonction racine carrée et la fonction carré ?

Objectifs d'apprentissage

• Identifier le domaine de définition de la fonction racine carrée et justifier cette restriction.
• Comparer la croissance de la fonction racine carrée à celle de la fonction carré pour des valeurs de x positives.
• Représenter graphiquement la fonction racine carrée et décrire ses variations.
• Expliquer le lien géométrique entre la courbe de la fonction racine carrée et celle de la fonction carré sur l'intervalle [0; +∞[.
• Résoudre graphiquement des équations simples impliquant la fonction racine carrée.

Avant de commencer

Introduction aux fonctions et représentations graphiques

Pourquoi : Les élèves doivent être familiers avec la notion de fonction, de variable, d'image et de représentation graphique pour aborder de nouvelles fonctions.

La fonction carré et ses propriétés

Pourquoi : La compréhension de la fonction carré est essentielle pour établir le lien géométrique et comparer les comportements des deux fonctions.

Opérations sur les nombres réels

Pourquoi : La connaissance des nombres réels, y compris les nombres positifs et négatifs, est fondamentale pour définir le domaine de la fonction racine carrée.

Vocabulaire clé

Domaine de définition	Ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie. Pour la racine carrée, il s'agit des nombres réels positifs ou nuls.
Fonction racine carrée	Fonction notée f(x) = √x, qui à tout nombre réel positif ou nul associe sa racine carrée.
Fonction carré	Fonction notée g(x) = x², qui à tout nombre réel associe son carré.
Symétrie axiale	Transformation géométrique qui associe à chaque point d'une figure son image par rapport à une droite appelée axe de symétrie. La droite y=x est l'axe de symétrie entre les courbes de √x et x² pour x ≥ 0.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Croire que racine(a² + b²) = a + b.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La racine carrée ne se distribue pas sur l'addition. Un exemple numérique simple le montre : racine(9 + 16) = racine(25) = 5, mais 3 + 4 = 7. Le calcul en groupe de plusieurs contre-exemples installe durablement cette règle.

Idée reçue courante

Penser que la racine carrée d'un nombre négatif donne un résultat négatif.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels. L'activité Penser-Partager-Présenter « quel nombre au carré donne -4 ? » fait émerger cette impossibilité par la recherche personnelle plutôt que par une règle imposée.

Idée reçue courante

Confondre racine(x²) = x sans tenir compte du signe.

Ce qu'il faut enseigner à la place

racine(x²) = |x| (valeur absolue), pas x. Pour x = -3, racine((-3)²) = racine(9) = 3, pas -3. La vérification systématique sur des valeurs positives et négatives en binômes corrige cette erreur.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Construire la courbe point par point

Les groupes calculent racine(x) pour x = 0, 1, 2, 3, 4, 9, 16, 25 et placent les points sur du papier millimétré. Ils relient les points et observent la forme de la courbe. Discussion : pourquoi la courbe semble-t-elle « ralentir » ?

30 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Pourquoi pas de racine d'un nombre négatif ?

L'enseignant demande : « Quel nombre au carré donne -4 ? » Les élèves cherchent individuellement, confrontent en binômes, puis la classe conclut qu'aucun réel ne convient. Lien avec le domaine de définition de la fonction racine carrée.

15 min·Binômes

Galerie marchande: Carré et racine carrée face à face

Chaque groupe trace sur une grande affiche la courbe de x² (pour x positif) et de racine(x) sur le même repère, avec la droite y = x. Ils annotent la symétrie et les points d'intersection. Les affiches circulent pour vérification mutuelle.

35 min·Petits groupes

Résolution graphique en binômes

Les binômes reçoivent la courbe de racine(x) et doivent résoudre graphiquement : racine(x) = 3, racine(x) < 2, racine(x) > x. Ils comparent leurs solutions et formulent les réponses en termes d'intervalles.

25 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• En ingénierie, la formule de la vitesse de chute d'un objet en fonction de la hauteur fait intervenir la racine carrée (v = √(2gh)). Les physiciens et les ingénieurs utilisent cette relation pour calculer des temps de parcours ou des énergies.
• Dans le domaine de la géométrie et de la topographie, le calcul de la longueur d'une diagonale dans un rectangle ou d'une arête dans un pavé droit utilise souvent le théorème de Pythagore, qui mène à des expressions avec des racines carrées pour trouver les dimensions.
• En finance, certains modèles d'évaluation d'options ou de gestion de portefeuille utilisent la volatilité, qui est souvent exprimée comme la racine carrée d'une variance, pour évaluer le risque d'un investissement.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présentez aux élèves un graphique combinant la fonction carré (pour x>0) et la fonction racine carrée. Demandez-leur d'identifier quelle courbe correspond à quelle fonction et d'expliquer pourquoi, en se basant sur leurs valeurs pour x=1 et x=4.

Billet de sortie

Sur une petite feuille, demandez aux élèves de : 1. Donner le domaine de définition de f(x) = √x. 2. Écrire une phrase expliquant pourquoi la courbe de √x 's'écrase' pour les grandes valeurs de x. 3. Nommer la droite qui sert d'axe de symétrie entre les courbes de x² (pour x>0) et √x.

Question de discussion

Posez la question : 'Si la fonction carré g(x) = x² est définie pour tous les réels, pourquoi la fonction racine carrée f(x) = √x a-t-elle une restriction sur son domaine de définition ?' Guidez la discussion vers la notion d'opération inverse et la nature des nombres réels.

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction racine carrée n'est-elle définie que pour x positif ?

La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré vaut a. Si a est négatif, aucun réel au carré ne donne un nombre négatif (un carré est toujours positif ou nul). Le domaine de définition de la fonction racine carrée est donc [0, +infini[.

Quel est le lien entre la fonction carré et la fonction racine carrée ?

Ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre sur les réels positifs : racine(x²) = x pour x positif, et (racine(x))² = x. Graphiquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. Ce lien se voit clairement en traçant les deux courbes sur le même repère.

Pourquoi la courbe de la racine carrée ralentit-elle ?

La croissance de racine(x) diminue à mesure que x augmente. Entre 0 et 1, racine(x) passe de 0 à 1 (gain de 1). Entre 100 et 101, elle passe de 10 à environ 10,05 (gain de 0,05). Les grands nombres ont des racines carrées très proches les unes des autres.

Comment travailler la racine carrée en classe avec des méthodes actives ?

La construction point par point de la courbe en groupe permet de voir la forme caractéristique. La comparaison graphique avec la fonction carré (tracer les deux sur le même repère) rend la symétrie visible. La résolution graphique d'équations en binômes développe la lecture de courbe et l'écriture en intervalles.