Mathématiques · Seconde · Fonctions : Modélisation et Analyse · 2e Trimestre

Extremums locaux et globaux

Les élèves identifient les maximums et minimums d'une fonction sur un intervalle donné, à partir de sa courbe ou de son tableau de variations.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee-FON-07
• EDNAT: Lycee-FON-08

À propos de ce thème

L'identification des extremums d'une fonction sur un intervalle est une compétence centrale du programme de Seconde. Un maximum (ou minimum) local concerne un voisinage du point, tandis qu'un extremum global est la plus grande (ou plus petite) valeur atteinte sur tout l'intervalle. Cette distinction est fondamentale pour les problèmes d'optimisation.

Les élèves apprennent à repérer les extremums à partir de la courbe représentative ou du tableau de variations. Le tableau de variations, outil spécifique au système français, synthétise le sens de variation et les valeurs remarquables d'une fonction. Un maximum local y apparaît au sommet d'une « montée suivie d'une descente ».

Les problèmes d'optimisation (aire maximale d'un enclos, coût minimal de production) ancrent ces notions dans le concret. Le travail en groupes sur ces problèmes permet aux élèves de modéliser, de tester des valeurs, de conjecturer l'extremum, puis de le confirmer par le tableau de variations.

Questions clés

1. Comment modéliser un problème d'optimisation (surface maximale, coût minimal) avec une fonction ?
2. Differentiate entre un extremum local et un extremum global d'une fonction.
3. Expliquez comment lire un extremum sur un tableau de variations.

Objectifs d'apprentissage

• Comparer les extremums locaux et globaux d'une fonction à partir de son graphique.
• Expliquer la différence entre un extremum local et un extremum global en utilisant le tableau de variations.
• Identifier les coordonnées des extremums locaux et globaux sur une représentation graphique.
• Calculer les valeurs d'une fonction aux points candidats pour les extremums sur un intervalle donné.
• Modéliser un problème d'optimisation simple (ex: aire maximale) en utilisant une fonction et en identifiant son extremum global.

Avant de commencer

Représentation graphique de fonctions

Pourquoi : Les élèves doivent savoir lire et interpréter un graphique pour identifier visuellement les points hauts et bas.

Sens de variation d'une fonction

Pourquoi : La compréhension des intervalles croissants et décroissants est essentielle pour construire et lire un tableau de variations.

Vocabulaire clé

Extremum local	Une valeur maximale ou minimale d'une fonction sur un intervalle restreint autour d'un point. C'est un sommet ou un creux dans le voisinage immédiat.
Extremum global	La valeur la plus grande (maximum global) ou la plus petite (minimum global) atteinte par une fonction sur l'ensemble de son intervalle d'étude.
Tableau de variations	Un tableau qui résume le sens de variation (croissance, décroissance) d'une fonction sur différents intervalles et indique les valeurs de ses extremums.
Intervalle d'étude	La portion de l'axe des abscisses sur laquelle la fonction est considérée. Les extremums globaux sont recherchés sur cet intervalle.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre extremum local et extremum global.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Un maximum local est le plus grand dans un voisinage ; le maximum global est le plus grand sur tout l'intervalle. Les activités de classement en binômes, avec des courbes présentant plusieurs bosses, clarifient cette hiérarchie.

Idée reçue courante

Oublier de vérifier les valeurs aux bornes de l'intervalle.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'extremum global peut se trouver aux extrémités de l'intervalle, pas seulement aux points où la fonction change de sens de variation. Le problème de l'enclos, où les cas limites (largeur 0, largeur maximale) donnent une aire nulle, illustre cette nécessité.

Idée reçue courante

Croire qu'une fonction croissante n'a pas de maximum sur un intervalle fermé.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Sur [a, b], une fonction strictement croissante atteint son maximum en b. Le tableau de variations le montre clairement : la flèche monte jusqu'à f(b). Les activités de construction de tableaux en groupe ancrent cette lecture.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: L'enclos optimal

Un fermier dispose de 40 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire contre un mur. Les groupes testent des dimensions, calculent les aires, construisent le tableau de valeurs, tracent la courbe et identifient le maximum. Mise en commun des stratégies.

45 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Local ou global ?

L'enseignant projette cinq courbes. Pour chacune, les élèves identifient individuellement les extremums locaux et globaux. Ils confrontent leur classement avec un camarade, puis la classe débat des cas ambigus (plateau, bord de l'intervalle).

20 min·Binômes

Galerie marchande: Du graphique au tableau de variations

Chaque groupe reçoit une courbe et doit produire le tableau de variations correspondant en y inscrivant les extremums. Les affiches circulent et les autres groupes vérifient la cohérence entre courbe et tableau.

35 min·Petits groupes

Défi chrono : Extremums en 3 minutes

L'enseignant affiche un tableau de variations. Les équipes ont 3 minutes pour identifier tous les extremums (locaux et global), leur nature et leur valeur. Correction immédiate et attribution de points.

15 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Un architecte cherche à maximiser l'aire d'une pièce rectangulaire pour un coût de matériaux donné. Il utilise des fonctions pour modéliser l'aire en fonction des dimensions et trouve l'extremum global pour optimiser l'espace.
• Un ingénieur de production souhaite minimiser le coût de fabrication d'un objet. Il modélise le coût en fonction du nombre d'unités produites et identifie le minimum global pour réduire les dépenses.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Donnez aux élèves un graphique de fonction sur un intervalle donné. Demandez-leur d'entourer tous les extremums locaux et de souligner l'extremum global. Ils doivent ensuite écrire une phrase pour justifier leur choix pour l'extremum global.

Billet de sortie

Présentez un tableau de variations simple. Posez la question : 'Quels sont les extremums locaux et globaux de cette fonction sur l'intervalle [-3, 5] ?' Les élèves doivent répondre en indiquant la valeur et la nature (maximum/minimum) de chaque extremum.

Question de discussion

Proposez le problème suivant : 'Une entreprise veut construire un enclos rectangulaire avec 100 mètres de clôture. Quelle doit être la forme de l'enclos pour maximiser son aire ?' Demandez aux élèves de discuter en petits groupes des étapes pour modéliser ce problème avec une fonction et trouver la solution.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un extremum local et un extremum global ?

Un extremum local est la plus grande ou plus petite valeur dans un voisinage immédiat du point. L'extremum global est la plus grande ou plus petite valeur sur tout l'intervalle d'étude. Une fonction peut avoir plusieurs maximums locaux, mais un seul maximum global sur un intervalle donné.

Comment lire un extremum sur un tableau de variations ?

Un maximum local apparaît quand la fonction passe de croissante à décroissante : c'est la valeur au sommet de la flèche montante. Un minimum local apparaît quand elle passe de décroissante à croissante. Pour le global, on compare toutes les valeurs inscrites dans le tableau, y compris aux bornes.

Comment résoudre un problème d'optimisation en Seconde ?

Il faut modéliser le problème par une fonction (exprimer la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable), déterminer l'intervalle d'étude, puis trouver l'extremum par le tableau de variations ou la courbe. Les problèmes concrets (aire, coût, distance) rendent la démarche motivante.

Comment l'apprentissage actif facilite-t-il la compréhension des extremums ?

Les problèmes d'optimisation en groupe permettent de tester des valeurs, de conjecturer l'extremum et de le confirmer par le tableau de variations. Le passage du concret (manipuler des dimensions) au formel (écrire la fonction) ancre la notion. La confrontation des résultats entre groupes développe l'esprit critique.