Mathematik · Klasse 13

Ideen für aktives Lernen

Teststärke und Stichprobenumfang

Aktive Lernformen eignen sich besonders für das Thema Teststärke und Stichprobenumfang, weil Schülerinnen und Schüler durch eigene Experimente und Datenanalysen die abstrakten Konzepte direkt erleben können. Sichtbare Effekte durch Variationen von n oder Effektstärken fördern ein nachhaltiges Verständnis der Zusammenhänge zwischen Stichprobenumfang, Fehlerwahrscheinlichkeiten und Entscheidungsqualität.

• KMK Bildungsstandards
• KMK: Sekundarstufe II - Stochastik

• 30–50 Min.
• Partnerarbeit → Ganze Klasse
• 4 Aktivitäten

Aktivität 01

• Planspiel
• 45 Min. · Kleingruppen

Planspiel: Würfeltest mit variierendem n

Gruppen werfen einen unfairen Würfel (z. B. mit Gewichtung) mehrmals und testen die Nullhypothese 'fair'. Sie wiederholen für n=10, 30, 100 und berechnen empirische Teststärken. Diskutieren Sie Ergebnisse in Plenum.

Erklären Sie, wie die Teststärke eines Hypothesentests mit der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art zusammenhängt.

Moderationstipp

Fordern Sie die Schülerinnen und Schüler während der Simulation auf, für jede Würfelanzahl n eine Hypothese zu formulieren und die erwartete Teststärke zu prognostizieren, bevor sie die Simulation starten.

Worauf zu achten ist

Stellen Sie den Schülern eine Tabelle mit verschiedenen Szenarien bereit (z. B. kleine vs. große Stichprobe, großer vs. kleiner Effekt). Bitten Sie sie, für jedes Szenario die erwartete Teststärke und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art einzuschätzen und ihre Begründung kurz zu notieren.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 02

• Forschungskreis
• 30 Min. · Partnerarbeit

Software-Übung: Power-Kurven plotten

Mit GeoGebra oder Excel simulieren Paare Hypothesentests für Mittelwerte. Variieren Sie n und σ, plotten Power gegen n. Vergleichen Sie mit theoretischen Formeln und notieren Sie Kompromisse.

Analysieren Sie, wie ein größerer Stichprobenumfang die Aussagekraft eines Tests verbessert.

Moderationstipp

Bitten Sie die Lernenden, bei der Power-Kurven-Übung die Achsenbeschriftungen und Skalierungen zu erklären, um das Verständnis für die mathematischen Zusammenhänge zu vertiefen.

Worauf zu achten ist

Leiten Sie eine Diskussion mit der Frage: 'Stellen Sie sich vor, Sie entwickeln einen neuen COVID-19-Test. Welche Faktoren würden Sie bei der Entscheidung über den Stichprobenumfang für die Validierungsstudie berücksichtigen, und welche Kompromisse müssten Sie eingehen?'

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Selbstwahrnehmung

Aktivität 03

• Fallstudienanalyse
• 50 Min. · Kleingruppen

Fallstudienanalyse: Medizinische Daten analysieren

Whole class bearbeitet einen Datensatz (z. B. Wirkung eines Medikaments). Teilen Sie in Gruppen auf, testen mit unterschiedlichen n und bewerten Teststärke. Präsentieren Sie Empfehlungen.

Bewerten Sie die Kompromisse bei der Wahl des Stichprobenumfangs in realen Studien.

Moderationstipp

Legen Sie den medizinischen Daten Fallstudie eine klare Forschungsfrage vor (z.B. 'Wirksamkeit eines neuen Medikaments?'), damit die Analyse zielgerichtet erfolgt und nicht ins Uferlose geht.

Worauf zu achten ist

Geben Sie jedem Schüler eine Karte mit einer der folgenden Fragen: 'Wie beeinflusst eine Verdopplung des Stichprobenumfangs die Teststärke?' oder 'Warum ist es wichtig, die Teststärke vor Beginn einer Studie zu bestimmen?' Die Schüler schreiben eine kurze, präzise Antwort.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Entscheidungsfähigkeit
• Selbststeuerung

Aktivität 04

• Fishbowl-Diskussion
• 35 Min. · Partnerarbeit

Fishbowl-Diskussion: Optimale n in der Praxis

Individual berechnen Schüler minimale n für gegebene Power. In Pairs diskutieren reale Einschränkungen (Budget, Zeit) und schlagen Alternativen vor. Plenum fasst zusammen.

Erklären Sie, wie die Teststärke eines Hypothesentests mit der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art zusammenhängt.

Moderationstipp

Führen Sie die Diskussion über optimale n mit konkreten Beispielen aus der Praxis (z.B. klinische Studien oder Qualitätskontrolle), um die Relevanz zu verdeutlichen.

Worauf zu achten ist

Stellen Sie den Schülern eine Tabelle mit verschiedenen Szenarien bereit (z. B. kleine vs. große Stichprobe, großer vs. kleiner Effekt). Bitten Sie sie, für jedes Szenario die erwartete Teststärke und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art einzuschätzen und ihre Begründung kurz zu notieren.

• Analysieren
• Bewerten
• Sozialbewusstsein
• Selbstwahrnehmung

Einige Hinweise zum Unterrichten dieser Einheit

Erfahrene Lehrkräfte beginnen mit einer intuitiven Einführung, zum Beispiel durch einen Würfeltest mit kleiner Stichprobe, der häufige Fehlentscheidungen produziert. Anschließend wird systematisch der Stichprobenumfang erhöht, um den Effekt auf die Teststärke sichtbar zu machen. Wichtig ist, immer wieder auf den Trade-off zwischen Stichprobengröße und Kosten oder Aufwand hinzuweisen. Vermeiden Sie rein theoretische Erklärungen ohne praktische Verankerung, da die Konzepte sonst abstrakt bleiben.

Am Ende der Einheit sollen die Lernenden die Teststärke als Funktion des Stichprobenumfangs und der Effektstärke beschreiben können, grafische Darstellungen interpretieren und praktische Kompromisse zwischen Stichprobengröße, Kosten und Fehlerrisiken begründen. Die Schülerinnen und Schüler zeigen dies durch präzise Argumentationen in Diskussionen und korrekte Berechnungen oder Simulationen.

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Vorsicht vor diesen Fehlvorstellungen

• Während der Simulation 'Würfeltest mit variierendem n' beobachten einige Schülerinnen und Schüler, dass die Teststärke mit zunehmendem n linear steigt.

  Nutzen Sie die Simulationsergebnisse, um die Schülerinnen und Schüler aufzufordern, die Kurve zu plotten und zu diskutieren, warum die Teststärke sich asymptotisch 1 nähert, aber nie diesen Wert erreicht.

• Während der Fallstudie 'Medizinische Daten analysieren' nehmen einige an, dass ein großer Stichprobenumfang β auf null reduziert.

  Bitten Sie die Lernenden, die Effektstärke zu variieren und zu beobachten, wie selbst bei großem n β positiv bleibt, um die Abhängigkeit von der Effektstärke zu verdeutlichen.

• Während der Diskussion 'Optimale n in der Praxis' äußern einige, dass die Teststärke unabhängig von α ist.

  Führen Sie nach der Simulation eine Peer-Diskussion durch, in der die Schülerinnen und Schüler Szenarien mit verschiedenen α-Werten austauschen und die Auswirkungen auf die Teststärke analysieren.

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In dieser Übersicht verwendete Methoden

• Planspiel
• Forschungskreis
• Fallstudienanalyse
• Fishbowl-Diskussion