Mathematik · Klasse 10

Ideen für aktives Lernen

Tangens und weitere trigonometrische Funktionen

Aktive Experimente mit trigonometrischen Funktionen machen abstrakte Zusammenhänge greifbar, weil Schülerinnen und Schüler Parameter direkt manipulieren und ihre Auswirkungen sofort am Graphen ablesen können. Das hilft besonders bei der Differenzierung zwischen Amplitude, Periode und Verschiebungen, die sonst leicht vermischt werden.

• KMK Bildungsstandards
• KMK.MA.GEO.10.3
• KMK.MA.GEO.10.4

• 20–45 Min.
• Partnerarbeit → Ganze Klasse
• 3 Aktivitäten

Aktivität 01

• Planspiel
• 45 Min. · Kleingruppen

Planspiel: Gezeiten-Modellierung

Schüler erhalten Wasserstandsdaten eines Hafens über 24 Stunden. In Kleingruppen versuchen sie, die Parameter a, b, c und d so zu bestimmen, dass die Sinusfunktion die Gezeiten möglichst genau abbildet.

Erklären Sie die geometrische Definition des Tangens am Einheitskreis.

Moderationstipp

Bevor die Schüler im Gezeiten-Modell experimentieren, lassen Sie sie in Einzelarbeit die Parameter a und d mit Schiebereglern verändern, um die Bedeutung von Amplitude und vertikaler Verschiebung bewusst zu machen.

Worauf zu achten ist

Geben Sie den Schülern ein Blatt mit drei Koordinatenpaaren (x, y) auf dem Einheitskreis. Bitten Sie sie, für jedes Paar den Tangens des zugehörigen Winkels zu berechnen und zu begründen, warum der Tangens für zwei der Punkte nicht definiert ist.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 02

• Museumsgang
• 30 Min. · Kleingruppen

Museumsgang: Funktions-Kunst

Schüler erstellen mit Grafikrechnern ästhetische Muster aus überlagerten Sinusfunktionen. Sie präsentieren ihre 'Kunstwerke' und die Mitschüler müssen raten, welche Parameterveränderungen zu den Formen geführt haben.

Vergleichen Sie die Definitionsbereiche und Wertebereiche von Sinus, Kosinus und Tangens.

Moderationstipp

Stellen Sie beim Gallery Walk sicher, dass jede Gruppe ihre Funktionsgleichung und die zugehörige grafische Darstellung präsentiert, um die Verbindung zwischen algebraischer und grafischer Darstellung zu betonen.

Worauf zu achten ist

Zeigen Sie den Graphen der Tangensfunktion und markieren Sie zwei Punkte auf dem Graphen. Stellen Sie die Frage: 'Was sind die Koordinaten dieser beiden Punkte und welche Periodizität weist die Funktion auf?' Vergleichen Sie die Antworten im Plenum.

• Verstehen
• Anwenden
• Analysieren
• Erschaffen
• Beziehungsfähigkeit
• Sozialbewusstsein

Aktivität 03

• Ich-Du-Wir (Denken-Austauschen-Vorstellen)
• 20 Min. · Partnerarbeit

Ich-Du-Wir (Denken-Austauschen-Vorstellen): Sound-Check

Schüler hören verschiedene Töne (Frequenzen). Sie überlegen erst allein, welcher Parameter (a oder b) sich ändert, wenn der Ton lauter oder höher wird, und gleichen dies mit ihrem Partner ab.

Analysieren Sie die Periodizität und Asymptoten der Tangensfunktion.

Moderationstipp

Führen Sie beim Think-Pair-Share zuerst eine stille Arbeitsphase ein, in der alle Schüler ihre eigenen Beobachtungen zum Sound-Check notieren, bevor sie sich in Paaren austauschen.

Worauf zu achten ist

Stellen Sie die Frage: 'Vergleichen Sie die Definitions- und Wertebereiche von Sinus, Kosinus und Tangens. Wo liegen die wesentlichen Unterschiede und welche Auswirkungen haben diese auf die grafische Darstellung und Anwendbarkeit der Funktionen?' Lassen Sie die Schüler ihre Überlegungen in Kleingruppen diskutieren und anschließend im Plenum vorstellen.

• Verstehen
• Anwenden
• Analysieren
• Selbstwahrnehmung
• Beziehungsfähigkeit

Einige Hinweise zum Unterrichten dieser Einheit

Behandeln Sie die Sinusfunktion nicht isoliert, sondern verknüpfen Sie sie mit bereits bekannten Funktionen wie Parabeln, um die Idee der Transformation zu vertiefen. Vermeiden Sie es, Parameter einfach zu definieren – lassen Sie die Schüler stattdessen durch gezielte Fragen selbst Zusammenhänge entdecken. Nutzen Sie Alltagsbeispiele wie Schallwellen oder Gezeiten, um die Relevanz zu verdeutlichen und die Motivation zu steigern.

Am Ende der Einheit können die Schülerinnen und Schüler die Parameter a, b, c und d einer allgemeinen Sinusfunktion sicher einordnen und deren Auswirkungen auf den Graphen erklären und grafisch darstellen. Sie erkennen periodische Muster in realen Kontexten und wenden ihr Wissen auf neue Funktionen wie den Tangens an.

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Vorsicht vor diesen Fehlvorstellungen

• During Simulation: Gezeiten-Modellierung, watch for Schüler, die den Parameter b direkt mit der Periodenlänge gleichsetzen.

  Nutzen Sie die interaktive Simulation gezielt: Lassen Sie die Schüler die Periode p für verschiedene b-Werte berechnen und in eine Tabelle eintragen. Fragen Sie explizit: 'Wie verändert sich die Periode, wenn b verdoppelt wird?' und visualisieren Sie dies durch Markierungen auf der x-Achse.

• During Gallery Walk: Funktions-Kunst, watch for Schüler, die die Phasenverschiebung c in die falsche Richtung zeichnen.

  Geben Sie den Schülern vor, für eine verschobene Funktion f(x) = sin(x - 2) eine Wertetabelle zu erstellen und die Punkte zu markieren. Fragen Sie: 'Welcher x-Wert entspricht y=0? Wo liegt dieser Punkt im Vergleich zur Standardfunktion?' Dies zeigt die korrekte Verschiebungsrichtung.

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In dieser Übersicht verwendete Methoden

• Planspiel
• Museumsgang
• Ich-Du-Wir (Denken-Austauschen-Vorstellen)