Mathematik · Klasse 10

Ideen für aktives Lernen

Graphentheorie und Netzwerke

Aktive Modellierung von Alltagsnetzwerken hilft Schülerinnen und Schülern, die abstrakte Struktur von Graphen zu verinnerlichen. Durch das konkrete Arbeiten mit Knoten und Kanten erkennen sie, wie mathematische Methoden reale Probleme lösen und Entscheidungen vorbereiten.

• KMK Bildungsstandards
• KMK Bildungsstandards Abitur: L1 Algorithmus und Zahl, Algorithmen (z. B. zur Bestimmung des kürzesten Weges in einem Graphen) anwenden und erläutern
• LehrplanPLUS Bayern Gymnasium Q11/12: Wahlpflichtfach Graphentheorie, das Problem des kürzesten Weges lösen (z. B. mit dem Algorithmus von Dijkstra)
• Kernlehrplan NRW G9 Sek II: Inhaltsfeld Stochastik, Übergangsprozesse mithilfe von Graphen und Matrizen modellieren

• 25–45 Min.
• Partnerarbeit → Ganze Klasse
• 4 Aktivitäten

Aktivität 01

• Projektbasiertes Lernen
• 30 Min. · Partnerarbeit

Paararbeit: Straßennetz modellieren

Paare zeichnen ein lokales Straßennetz als Graph mit 8-10 Knoten und Kantenlängen. Sie markieren Start- und Zielpunkt und testen manuell verschiedene Pfade. Gemeinsam notieren sie die Gesamtlängen und vergleichen mit einer App-Route.

Wie lassen sich Verbindungen und Beziehungen in einem Netzwerk mathematisch darstellen?

Moderationstipp

Beobachten Sie während der Paararbeit, ob die Schüler die Knoten als Punkte und Kanten als Verbindungen begreifen oder ob sie versuchen, geometrische Formen zu zeichnen.

Worauf zu achten ist

Lassen Sie die Schüler ein einfaches Straßennetzwerk einer Kleinstadt aufzeichnen. Geben Sie ihnen dann die Aufgabe, den kürzesten Weg zwischen zwei bestimmten Punkten mit dem Dijkstra-Algorithmus zu berechnen und die einzelnen Schritte zu dokumentieren.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 02

• Projektbasiertes Lernen
• 45 Min. · Kleingruppen

Gruppenrotation: Algorithmus-Stationen

Richten Sie Stationen für Dijkstra, Breitensuche und Prim ein. Gruppen lösen je ein Netzwerkproblem pro Station, rotieren nach 10 Minuten und präsentieren Ergebnisse. Material: vorbereitete Graphen auf Karten.

Welche Algorithmen helfen, den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten in einem Graphen zu finden?

Moderationstipp

Stellen Sie sicher, dass bei den Algorithmus-Stationen jeder Schüler mindestens einmal den Marker in die Hand nimmt und einen Schritt des Dijkstra-Algorithmus selbst durchführt.

Worauf zu achten ist

Stellen Sie den Schülern eine Karte mit einem kleinen Graphen (z.B. 5 Knoten, 6 Kanten mit Gewichten). Bitten Sie sie, den kürzesten Weg von Knoten A zu Knoten E zu identifizieren und kurz zu erklären, warum dieser Weg der kürzeste ist, basierend auf den Kantengewichten.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 03

• Projektbasiertes Lernen
• 40 Min. · Ganze Klasse

Klassennetzwerk: Soziale Verbindungen

Die Klasse erstellt einen Graph ihrer Freundschaften: Jeder Knoten ist eine Person, Kanten bestehen bei Bekanntschaft. Gemeinsam finden sie den kürzesten Pfad zwischen zwei Schülern und diskutieren Implikationen.

Analysieren Sie die Bedeutung der Graphentheorie für Logistik, Routenplanung und soziale Medien.

Moderationstipp

Fordern Sie die Gruppen beim Klassennetzwerk auf, ihre Ergebnisse auf einer gemeinsamen Tafel zu präsentieren, um Transparenz und Vergleichbarkeit zu schaffen.

Worauf zu achten ist

Diskutieren Sie in Kleingruppen: 'Welche Art von realem Netzwerk (z.B. öffentlicher Nahverkehr, Internetverbindungen, Freundschaftsnetzwerke) lässt sich am besten mit einem ungerichteten, gewichteten Graphen darstellen und warum?' Sammeln Sie die Ergebnisse im Plenum.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 04

• Projektbasiertes Lernen
• 25 Min. · Einzelarbeit

Individuell: Optimierungsaufgabe

Schüler modellieren ein Liefernetz für ein Geschäft mit 6 Städten. Sie wenden den kürzesten-Weg-Algorithmus an, berechnen Distanzen und rechtfertigen ihre Route schriftlich.

Wie lassen sich Verbindungen und Beziehungen in einem Netzwerk mathematisch darstellen?

Worauf zu achten ist

Lassen Sie die Schüler ein einfaches Straßennetzwerk einer Kleinstadt aufzeichnen. Geben Sie ihnen dann die Aufgabe, den kürzesten Weg zwischen zwei bestimmten Punkten mit dem Dijkstra-Algorithmus zu berechnen und die einzelnen Schritte zu dokumentieren.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Einige Hinweise zum Unterrichten dieser Einheit

Graphentheorie lebt vom praktischen Erleben. Vermeiden Sie zu frühe Formalisierung und lassen Sie die Schüler die Konzepte durch eigenes Handeln entdecken. Visualisierung mit farbigen Markierungen und konkreten Alltagsbeispielen baut mentale Modelle auf, die später abstrakt genutzt werden können. Wichtig ist, dass die Schüler die Schritte der Algorithmen selbst ausprobieren, bevor sie sie theoretisch reflektieren.

Am Ende der Einheit sollen die Schüler Graphen als mächtiges Werkzeug zur Darstellung von Beziehungen und zur Lösung von Optimierungsproblemen nutzen können. Sie dokumentieren ihre Lösungswege nachvollziehbar und diskutieren die Ergebnisse im Plenum.

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Vorsicht vor diesen Fehlvorstellungen

• Während der Paararbeit 'Straßennetz modellieren' achten Sie darauf, dass Schüler versuchen, Straßen als geometrische Kurven zu zeichnen oder 'schöne' Bilder zu erstellen.

  Fordern Sie die Schüler explizit auf, nur Punkte für Kreuzungen und gerade Linien für Straßen zu verwenden. Nutzen Sie ein Beispiel mit einer einfachen Kreuzung, um zu zeigen, dass die Position der Knoten und die Länge der Kanten für die Problemlösung irrelevant sind.

• Während der Gruppenrotation 'Algorithmus-Stationen' glauben einige Schüler, dass der kürzeste Weg immer die direkte Verbindung zwischen Start und Ziel ist.

  Lassen Sie die Schüler mit einem Papiergraphen experimentieren, bei dem die Luftlinie länger ist als der tatsächliche Weg. Sie messen beide Pfade und erkennen so, dass Kantenlängen und Verbindungen entscheidend sind.

• Während der individuellen Optimierungsaufgabe denken Schüler, dass Algorithmen nur mit Computern funktionieren.

  Zeigen Sie an einem einfachen Beispiel, wie der Dijkstra-Algorithmus mit farbigen Markierungen und Notizen auf Papier Schritt für Schritt nachvollzogen werden kann. Betonen Sie, dass die Struktur des Algorithmus unabhängig vom Medium ist.

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In dieser Übersicht verwendete Methoden

• Projektbasiertes Lernen