Mathematik · Klasse 10

Ideen für aktives Lernen

Lineare Optimierung (Simplex-Idee)

Aktive Lernformen wie Stationenrotation oder Paararbeit machen die lineare Optimierung greifbar, weil Schülerinnen und Schüler grafische Lösungswege selbst ausprobieren und so die geometrische Bedeutung des Simplex-Verfahrens verstehen. Das Arbeiten mit konvexen Polygonen und Eckpunkten fördert dabei sowohl das räumliche Vorstellungsvermögen als auch die Fähigkeit, mathematische Zusammenhänge zu verallgemeinern.

• KMK Bildungsstandards
• KMK.MA.ANW.10.9
• KMK.MA.ANW.10.10

• 20–50 Min.
• Partnerarbeit → Ganze Klasse
• 4 Aktivitäten

Aktivität 01

• Projektbasiertes Lernen
• 45 Min. · Kleingruppen

Stationenrotation: Optimierungsaufgaben

Richten Sie vier Stationen ein: Station 1 für Ressourcenmodellierung, Station 2 für Grafikskizze des Zulässigkeitsbereichs, Station 3 für Eckpunktebewertung, Station 4 für Sensitivitätsanalyse. Gruppen rotieren alle 10 Minuten und protokollieren Ergebnisse. Abschließende Plenumdiskussion.

Wie findet man den optimalen Produktionsmix bei begrenzten Ressourcen?

Moderationstipp

Legen Sie bei der Stationenrotation Wert auf kurze, präzise Arbeitsaufträge an jeder Station, damit die Schülerinnen und Schüler zielgerichtet arbeiten und nicht in Details verlieren.

Worauf zu achten ist

Geben Sie den Schülerinnen und Schülern ein einfaches Optimierungsproblem mit zwei Ungleichungen und einer Zielfunktion. Bitten Sie sie, den zulässigen Bereich zu skizzieren, die Eckpunkte zu berechnen und den optimalen Wert der Zielfunktion zu identifizieren.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 02

• Projektbasiertes Lernen
• 30 Min. · Partnerarbeit

Paararbeit: Produktionsoptimierung

Paare erhalten ein Szenario mit zwei Produkten und Ressourcenbeschränkungen. Sie skizzieren den Zulässigkeitsbereich, berechnen Eckpunkte und bestimmen den optimalen Mix. Austausch der Lösungen mit einer anderen Paargruppe folgt.

Was ist ein zulässiger Bereich im Koordinatensystem und wie wird er bestimmt?

Moderationstipp

Fordern Sie bei der Paararbeit die Schülerinnen auf, ihre Lösungswege gegenseitig zu erklären, um das Verständnis für die Eckpunktprüfung zu vertiefen.

Worauf zu achten ist

Zeigen Sie eine Grafik eines zulässigen Bereichs mit markierten Eckpunkten. Stellen Sie die Frage: 'Wenn die Zielfunktion f(x, y) = 3x + 2y ist, an welchem Eckpunkt liegt das Maximum und warum?' Bewerten Sie die Antworten auf die Begründung.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 03

• Projektbasiertes Lernen
• 50 Min. · Ganze Klasse

Ganzer Unterricht: Beweisworkshop

Die Klasse diskutiert gemeinsam, warum das Optimum an Ecken liegt. Jede Gruppe testet mit Beispielen und formuliert einen Beweis. Präsentationen und kollektive Verfeinerung schließen ab.

Warum liegt das Optimum immer an den Ecken des zulässigen Bereichs und wie kann man das beweisen?

Moderationstipp

Nutzen Sie im Beweisworkshop gezielt Fragen wie 'Warum muss das Optimum an einer Ecke liegen?' um die Schülerinnen und Schüler zur Argumentation anzuregen.

Worauf zu achten ist

Stellen Sie die Frage: 'Warum muss das Optimum bei linearen Optimierungsproblemen immer an einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs liegen?' Lassen Sie die Schülerinnen und Schüler ihre Ideen in Kleingruppen diskutieren und eine gemeinsame Erklärung formulieren, die auf der Geometrie des Problems basiert.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 04

• Projektbasiertes Lernen
• 20 Min. · Einzelarbeit

Individuell: Eigenes Problem

Jede Schülerin und jeder Schüler erfindet ein Optimierungsproblem aus dem Alltag, skizziert den Bereich und löst es. Lösungen werden anonym gesammelt und in der nächsten Stunde besprochen.

Wie findet man den optimalen Produktionsmix bei begrenzten Ressourcen?

Moderationstipp

Geben Sie beim individuellen Problem den Lernenden klare Vorgaben zur Anzahl der Variablen und Ungleichungen, um Überforderung zu vermeiden.

Worauf zu achten ist

Geben Sie den Schülerinnen und Schülern ein einfaches Optimierungsproblem mit zwei Ungleichungen und einer Zielfunktion. Bitten Sie sie, den zulässigen Bereich zu skizzieren, die Eckpunkte zu berechnen und den optimalen Wert der Zielfunktion zu identifizieren.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit
• Entscheidungsfähigkeit

Einige Hinweise zum Unterrichten dieser Einheit

Erfahrene Lehrkräfte beginnen mit konkreten Beispielen aus der Praxis, etwa der Budgetplanung, um die Relevanz der linearen Optimierung zu verdeutlichen. Sie vermeiden es, das Simplex-Verfahren als reinen Algorithmus zu behandeln, sondern betonen stattdessen die geometrische Idee des Eckpunktvergleichs. Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler selbst zeichnen und diskutieren, um ein intuitives Verständnis aufzubauen. Fehler wie die Annahme eines rechteckigen zulässigen Bereichs werden direkt im Prozess korrigiert, indem sie immer wieder neue Konfigurationen skizzieren.

Am Ende der Einheit können die Schülerinnen und Schüler den zulässigen Bereich aus mehreren Ungleichungen skizzieren, Eckpunkte berechnen und den optimalen Punkt aufgrund der Zielfunktion identifizieren. Sie erkennen, dass das Optimum stets an einer Ecke liegt und können dies an praktischen Beispielen begründen.

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Vorsicht vor diesen Fehlvorstellungen

• Während der Stationenrotation beobachten Sie, dass einige Schülerinnen und Schüler das Optimum im Inneren des zulässigen Bereichs suchen.

  Nutzen Sie die Station mit der grafischen Darstellung, um gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern mehrere Eckpunkte zu berechnen. Lassen Sie sie die Zielfunktion für jeden Punkt auswerten und vergleichen Sie die Ergebnisse, um die Regel zu veranschaulichen.

• Während der Stationenrotation nehmen einige Schülerinnen und Schüler an, der zulässige Bereich sei immer ein Rechteck.

  Fordern Sie die Lernenden auf, an der Station mit variierenden Ungleichungen unterschiedliche Konfigurationen zu skizzieren. Bitten Sie sie, die Schnittmengen zu markieren und zu beschreiben, wie schräge Kanten entstehen.

• Während der Paararbeit argumentieren einige Schülerinnen und Schüler, dass mehr Variablen die Lösung unmöglich machen.

  Fordern Sie die Paare auf, ihre Lösungsschritte auf zwei Variablen zu beschränken und dann zu beschreiben, wie die Simplex-Idee die Verallgemeinerung ermöglicht. Nutzen Sie ein reales Modell wie eine Produktionsplanung, um die Systematik zu verdeutlichen.

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In dieser Übersicht verwendete Methoden

• Projektbasiertes Lernen