Mathématiques · Terminale · Calcul Intégral · 3e Trimestre

Mathématiques et enjeux sociétaux

Les élèves modélisent des phénomènes d'épidémies, de climat ou d'économie à l'aide des mathématiques.

• Programmes Officiels
• EDNAT: MAT.TLE.91
• EDNAT: MAT.TLE.92

À propos de ce thème

La modélisation mathématique des phénomènes sociétaux (épidémies, climat, économie) est un pilier du programme de Terminale qui donne tout son sens aux outils d analyse. Les élèves mobilisent les suites, les fonctions exponentielles, les équations différentielles et les statistiques pour produire des modèles prédictifs, puis en évaluer la fiabilité. Le modèle SIR en épidémiologie, les courbes de croissance du PIB ou les scénarios climatiques du GIEC sont autant de supports concrets.

Ce chapitre oblige à distinguer le modèle de la réalité : quelles hypothèses simplifient le phénomène ? Quels paramètres sont incertains ? Les élèves apprennent à quantifier l incertitude et à communiquer leurs résultats avec prudence. L approche par projets collaboratifs est particulièrement adaptée ici, car la confrontation des interprétations entre pairs met en lumière les biais de lecture des données et renforce l esprit critique face aux chiffres.

Questions clés

1. Comment les modèles mathématiques influencent-ils les décisions politiques?
2. Quels sont les biais possibles dans l'interprétation des statistiques?
3. Peut-on tout mettre en équation?

Objectifs d'apprentissage

• Analyser la pertinence d'un modèle mathématique (ex: SIR) pour représenter un phénomène épidémique en comparant ses prédictions aux données observées.
• Évaluer les hypothèses simplificatrices d'un modèle climatique et leur impact sur la fiabilité des scénarios futurs.
• Calculer l'incertitude associée aux paramètres d'un modèle économique et expliquer comment elle influence les décisions politiques.
• Concevoir une démarche de modélisation pour un phénomène sociétal simple (ex: propagation d'une rumeur), en justifiant les choix d'outils mathématiques.

Avant de commencer

Suites numériques et fonctions exponentielles

Pourquoi : Ces outils sont fondamentaux pour décrire la croissance ou la décroissance de phénomènes (ex: population, contamination).

Équations différentielles simples

Pourquoi : Nécessaire pour comprendre la dynamique des modèles comme SIR et d'autres modèles d'évolution continue.

Statistiques descriptives et probabilités

Pourquoi : Indispensable pour comprendre et interpréter les données utilisées dans les modèles et évaluer leur fiabilité.

Vocabulaire clé

Modèle SIR	Un modèle mathématique simple utilisé pour décrire la propagation d'une maladie infectieuse dans une population, classant les individus en Susceptibles, Infectés et Rétablis.
Hypothèse simplificatrice	Une supposition faite pour rendre un modèle plus gérable, qui néglige certains aspects de la réalité pour se concentrer sur les éléments essentiels du phénomène étudié.
Paramètre incertain	Une valeur dans un modèle dont la précision est limitée ou inconnue, et qui peut affecter significativement les résultats du modèle.
Biais d'interprétation	Une tendance systématique à interpréter des données ou des résultats de manière erronée, souvent influencée par des attentes personnelles ou des représentations graphiques trompeuses.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Un bon modèle mathématique prédit exactement le futur.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Tout modèle repose sur des hypothèses simplificatrices et des paramètres estimés. Sa valeur réside dans l exploration de scénarios, pas dans la certitude. Les projets de groupe où les élèves comparent plusieurs modèles sur les mêmes données rendent cette distinction très concrète.

Idée reçue courante

Si deux variables sont corrélées, l une cause l autre.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La corrélation statistique ne prouve jamais la causalité. Un troisième facteur peut expliquer le lien observé. Les exercices de recherche de contre-exemples entre pairs aident à intérioriser ce principe fondamental.

Idée reçue courante

Les mathématiques donnent des réponses objectives et neutres sur les questions de société.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Le choix du modèle, des données retenues et des paramètres reflète des décisions humaines. L analyse collaborative de cas réels (prévisions économiques divergentes, modèles climatiques concurrents) montre que les mathématiques éclairent le débat sans le trancher seules.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Simuler une épidémie avec le modèle SIR

En petits groupes, les élèves calibrent un modèle SIR (Susceptibles-Infectés-Rétablis) sur des données réelles simplifiées. Ils ajustent les paramètres de transmission et de guérison, comparent leurs courbes avec les données observées, puis présentent les limites de leur modèle à la classe.

50 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Lire un graphique climatique

Chaque élève reçoit un graphique de projection climatique (température ou niveau des mers) avec deux scénarios. Il identifie les hypothèses sous-jacentes, puis échange avec son voisin pour repérer les sources d incertitude et les choix de présentation qui influencent la lecture du graphique.

25 min·Binômes

Galerie marchande: Quand les statistiques mentent

Affichez six exemples de graphiques ou titres de presse qui déforment des données (axes tronqués, échelles non linéaires, corrélations abusives). Les groupes circulent, identifient le biais, reformulent le message correct et proposent une visualisation honnête.

40 min·Petits groupes

Débat formel: Faut-il confiner sur la base d un modèle ?

Deux équipes reçoivent le même jeu de données épidémiologiques. L une plaide pour des mesures strictes, l autre pour la prudence face aux incertitudes du modèle. Chaque camp doit s appuyer sur des arguments mathématiques précis (intervalles de confiance, sensibilité aux paramètres).

45 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Les épidémiologistes de l'Institut Pasteur utilisent des modèles comme SIR pour anticiper la propagation de virus (ex: grippe, COVID-19) et guider les décisions de santé publique, telles que la mise en place de mesures de confinement ou de vaccination.
• Les économistes de la Banque de France emploient des modèles complexes intégrant des équations différentielles pour prévoir l'évolution du PIB et de l'inflation, afin d'éclairer les choix de politique monétaire.
• Les climatologues du GIEC (Groupe d'experts intergouvernemental sur l'évolution du climat) s'appuient sur des modèles informatiques sophistiqués pour simuler les scénarios de réchauffement climatique et informer les négociations internationales sur le climat.

Idées d'évaluation

Question de discussion

Présentez aux élèves un graphique montrant des données réelles (ex: nombre de cas d'une maladie) et la courbe d'un modèle SIR. Demandez-leur : 'Quelles sont les forces et les faiblesses de ce modèle pour expliquer les données observées ? Quels paramètres pourraient être ajustés pour améliorer l'ajustement ?'

Vérification rapide

Donnez aux élèves une courte description d'un phénomène sociétal (ex: diffusion d'une information sur les réseaux sociaux). Demandez-leur d'identifier deux hypothèses simplificatrices qu'ils pourraient faire pour le modéliser et un paramètre dont l'incertitude pourrait être importante.

Évaluation par les pairs

En binômes, les élèves évaluent un court paragraphe rédigé par un autre groupe décrivant les limites d'un modèle mathématique. Ils doivent identifier au moins un biais potentiel dans l'interprétation des résultats et proposer une formulation plus prudente.

Questions fréquentes

Comment le modèle SIR fonctionne-t-il pour modéliser une épidémie ?

Le modèle SIR divise la population en trois groupes : Susceptibles, Infectés et Rétablis. Deux paramètres (taux de transmission et taux de guérison) régissent les transferts entre ces compartiments. En Terminale, on utilise des suites ou des équations différentielles pour simuler l évolution de chaque groupe au fil du temps.

Quels outils mathématiques de Terminale servent à modéliser le climat ?

Les fonctions exponentielles modélisent l accumulation de CO2, les suites permettent de simuler des scénarios pas à pas, et les statistiques quantifient l incertitude des projections. Les équations différentielles relient les variables (température, concentration de gaz) entre elles.

Comment repérer un biais dans la présentation de statistiques ?

Il faut vérifier les axes (origine à zéro, échelle linéaire ou logarithmique), la taille de l échantillon, la période choisie et la distinction entre corrélation et causalité. Un titre de presse peut induire en erreur même si les données brutes sont correctes.

Pourquoi travailler en groupe aide-t-il à comprendre la modélisation ?

La modélisation implique des choix subjectifs (hypothèses, paramètres). En confrontant leurs interprétations, les élèves repèrent leurs propres biais de lecture, découvrent des angles qu ils n avaient pas envisagés et développent un regard critique sur les résultats chiffrés.