Mathématiques · Terminale · Calcul Intégral · 3e Trimestre

Interdisciplinarité : Maths et SVT

Les élèves modélisent la croissance bactérienne et la génétique des populations à l'aide des mathématiques.

• Programmes Officiels
• EDNAT: MAT.TLE.97
• EDNAT: MAT.TLE.98

À propos de ce thème

L interdisciplinarité maths-SVT est un axe fort du programme de Terminale qui donne un ancrage biologique concret aux outils d analyse. La croissance bactérienne en milieu non limité suit un modèle exponentiel, tandis que la génétique des populations mobilise les probabilités conditionnelles et les lois de Mendel. Les suites permettent de modéliser l évolution d un écosystème génération après génération.

Ce croisement disciplinaire oblige les élèves à traduire un problème biologique en langage mathématique, puis à réinterpréter les résultats dans leur contexte scientifique. On passe ainsi de la division cellulaire à la fonction exponentielle, des croisements génétiques aux arbres de probabilités, et de la dynamique des populations aux suites récurrentes. Les approches actives (projets interdisciplinaires, simulations, analyses de données réelles) sont particulièrement efficaces car elles reproduisent la démarche authentique du chercheur en biologie quantitative.

Questions clés

1. Comment l'exponentielle modélise-t-elle une population sans prédateur?
2. Pourquoi les probabilités sont-elles au cœur des lois de Mendel?
3. Comment utiliser les suites pour prédire l'évolution d'un écosystème?

Objectifs d'apprentissage

• Calculer la taille d'une population bactérienne à différents temps en utilisant la fonction exponentielle.
• Expliquer le rôle des probabilités dans la transmission des caractères génétiques selon les lois de Mendel.
• Modéliser l'évolution d'une population par une suite récurrente et en prédire les effectifs futurs.
• Comparer les modèles de croissance exponentielle et logistique pour décrire des dynamiques de population.
• Analyser la structure d'un arbre de probabilités pour représenter des croisements génétiques.

Avant de commencer

Fonctions exponentielles

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser les propriétés et le calcul de la fonction exponentielle pour modéliser la croissance bactérienne.

Probabilités de base

Pourquoi : Une compréhension des probabilités simples est nécessaire avant d'aborder les probabilités conditionnelles dans le contexte de la génétique.

Suites numériques

Pourquoi : La notion de suite, notamment arithmétique et géométrique, est fondamentale pour comprendre les suites récurrentes utilisées en dynamique des populations.

Vocabulaire clé

Croissance exponentielle	Modèle mathématique décrivant une augmentation d'une quantité proportionnelle à sa valeur actuelle, souvent utilisé pour la croissance des populations en l'absence de contraintes.
Lois de Mendel	Principes fondamentaux de l'hérédité qui décrivent la transmission des caractères génétiques des parents à leur descendance, basés sur des concepts de probabilité.
Suite récurrente	Suite de nombres où chaque terme est calculé à partir des termes précédents, utilisée pour modéliser des phénomènes évoluant par étapes successives, comme les populations.
Probabilité conditionnelle	Probabilité qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà produit, essentielle pour comprendre les croisements génétiques.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

La croissance exponentielle d une population se poursuit indéfiniment.

Ce qu'il faut enseigner à la place

En réalité, les ressources limitées imposent un plafond (capacité de charge). Le modèle exponentiel n est valable que sur la phase initiale. Les simulations en groupe, où les élèves constatent la divergence entre modèle et données réelles, ancrent solidement cette distinction.

Idée reçue courante

Les lois de Mendel donnent des résultats exacts (3/4 dominant, 1/4 récessif).

Ce qu'il faut enseigner à la place

Ces rapports sont des probabilités théoriques. Sur un petit échantillon, les proportions observées peuvent s en écarter nettement (fluctuation d échantillonnage). Les exercices de simulation (lancers de dés ou tirage de jetons) entre pairs permettent de constater cette variabilité.

Idée reçue courante

Une suite récurrente qui modélise une population donne toujours des valeurs entières.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Le modèle mathématique produit des valeurs réelles que l on interprète comme des effectifs moyens. Les élèves qui travaillent sur des données réelles en groupe comprennent vite que le modèle est une approximation, pas un comptage exact.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Culture bactérienne en laboratoire virtuel

En petits groupes, les élèves reçoivent des données de croissance bactérienne (temps, nombre de colonies). Ils doivent ajuster un modèle exponentiel, estimer le temps de doublement, puis identifier à quel moment le modèle cesse d être valide (phase de saturation).

45 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: L échiquier de Mendel

Chaque élève reçoit un croisement génétique (ex : Aa x Aa). Il construit l arbre de probabilités correspondant, calcule les fréquences génotypiques, puis compare ses résultats avec son voisin. Les binômes vérifient mutuellement la cohérence entre les probabilités et les proportions de Mendel.

25 min·Binômes

Rotation par ateliers: Trois regards sur la population

Station 1 : Modèle exponentiel (croissance sans prédateur). Station 2 : Modèle logistique (capacité de charge). Station 3 : Suite de récurrence pour une relation proie-prédateur. Les élèves comparent les trois approches et identifient les hypothèses de chacune.

50 min·Petits groupes

Galerie marchande: Du graphique biologique à l équation

Affichez quatre graphiques issus de publications de SVT (croissance de levures, fréquence allélique, dynamique de population, courbe de survie). Les groupes doivent proposer pour chaque graphique le type de fonction ou de suite mathématique qui le modélise, avec justification.

35 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Les épidémiologistes utilisent des modèles de croissance exponentielle pour prédire la propagation des maladies infectieuses et planifier les interventions de santé publique, comme observé lors des pandémies.
• Les généticiens dans les centres de recherche agronomique appliquent les lois de Mendel et les probabilités pour sélectionner des variétés de plantes ou d'animaux présentant des caractères désirables, améliorant ainsi les rendements agricoles.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présenter aux élèves un graphique de croissance bactérienne. Demander : 'Quelle est la formule mathématique qui correspond à cette courbe ? Calculez la population attendue après 8 heures.' Vérifier la compréhension de la fonction exponentielle.

Question de discussion

Poser la question : 'Comment les probabilités nous aident-elles à prédire la couleur des yeux d'un enfant si l'on connaît celle de ses parents ?' Encourager l'utilisation du vocabulaire des probabilités conditionnelles et des arbres de probabilités.

Billet de sortie

Donner aux élèves une courte description d'une situation d'évolution d'écosystème (ex: introduction d'une nouvelle espèce). Demander : 'Quel type de modèle mathématique (suite arithmétique, géométrique, autre) serait le plus approprié pour décrire cette évolution et pourquoi ?'

Questions fréquentes

Comment la fonction exponentielle modélise-t-elle une population bactérienne ?

En milieu non limité, chaque bactérie se divise à intervalle régulier. Le nombre de bactéries suit N(t) = N0 * e^(kt), où k est le taux de croissance et N0 l effectif initial. Le temps de doublement est ln(2)/k. Ce modèle est valide uniquement tant que les ressources sont abondantes.

Quel est le lien entre les probabilités et les lois de Mendel ?

Chaque croisement génétique est un tirage aléatoire d allèles. Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la fréquence de chaque génotype dans la descendance. L arbre de probabilités traduit directement le tableau de croisement en un outil de calcul rigoureux.

Comment utiliser les suites pour prédire l évolution d un écosystème ?

On définit une suite récurrente où l effectif à la génération n+1 dépend de l effectif à la génération n (et éventuellement d un prédateur). L étude de la convergence ou de la divergence de cette suite renseigne sur la stabilité ou l effondrement de l écosystème modélisé.

Pourquoi les projets interdisciplinaires maths-SVT sont-ils efficaces en Terminale ?

Ils obligent les élèves à mobiliser simultanément des compétences de modélisation et d interprétation biologique. Le travail en groupe reproduit la démarche du chercheur : formuler une hypothèse, la traduire en équation, confronter le modèle aux données et discuter ses limites.