Extremums locaux et globaux

Les extremums locaux et globaux sont mieux compris par l'action plutôt que par des explications théoriques seules. En manipulant concrètement des fonctions, des graphiques et des situations réelles, les élèves ancrent leur compréhension des variations et des points critiques, ce qui réduit les erreurs de conceptualisation abstraite.

• Seconde
• Mathématiques : Raisonnement et Modélisation
• 4 activités
• 15 min–45 min

Objectifs d’apprentissage

1. Comparer les extremums locaux et globaux d'une fonction à partir de son graphique.
2. Expliquer la différence entre un extremum local et un extremum global en utilisant le tableau de variations.
3. Identifier les coordonnées des extremums locaux et globaux sur une représentation graphique.
4. Calculer les valeurs d'une fonction aux points candidats pour les extremums sur un intervalle donné.
5. Modéliser un problème d'optimisation simple (ex: aire maximale) en utilisant une fonction et en identifiant son extremum global.

Cercle de recherche

⏱ 45 min·Petits groupes

Cercle de recherche: L'enclos optimal

Un fermier dispose de 40 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire contre un mur. Les groupes testent des dimensions, calculent les aires, construisent le tableau de valeurs, tracent la courbe et identifient le maximum. Mise en commun des stratégies.

Préparation et détails

Comment modéliser un problème d'optimisation (surface maximale, coût minimal) avec une fonction ?

Conseil de facilitation: Pendant l'activité 'L'enclos optimal', circulez entre les groupes pour souligner explicitement les cas où l'aire est nulle aux bornes de l'intervalle et demandez aux élèves d'expliquer pourquoi ces cas sont à considérer.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Local ou global ?

L'enseignant projette cinq courbes. Pour chacune, les élèves identifient individuellement les extremums locaux et globaux. Ils confrontent leur classement avec un camarade, puis la classe débat des cas ambigus (plateau, bord de l'intervalle).

Préparation et détails

Differentiate entre un extremum local et un extremum global d'une fonction.

Conseil de facilitation: Lors du 'Think-Pair-Share : Local ou global ?', insistez sur le fait que chaque binôme doit produire une phrase écrite pour justifier sa réponse, même si les deux membres sont d'accord.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Galerie marchande

⏱ 35 min·Petits groupes

Galerie marchande: Du graphique au tableau de variations

Chaque groupe reçoit une courbe et doit produire le tableau de variations correspondant en y inscrivant les extremums. Les affiches circulent et les autres groupes vérifient la cohérence entre courbe et tableau.

Préparation et détails

Expliquez comment lire un extremum sur un tableau de variations.

Conseil de facilitation: Pour le 'Gallery Walk : Du graphique au tableau de variations', imposez un temps de silence de deux minutes entre chaque affiche pour que les élèves analysent individuellement avant de discuter en groupe.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Étude de cas

⏱ 15 min·Petits groupes

Défi chrono : Extremums en 3 minutes

L'enseignant affiche un tableau de variations. Les équipes ont 3 minutes pour identifier tous les extremums (locaux et global), leur nature et leur valeur. Correction immédiate et attribution de points.

Préparation et détails

Comment modéliser un problème d'optimisation (surface maximale, coût minimal) avec une fonction ?

Conseil de facilitation: Pendant le 'Défi chrono : Extremums en 3 minutes', vérifiez que chaque élève note ses réponses sur une feuille avant de comparer avec le corrigé, afin de limiter les échanges oraux non structurés.

Setup: Groupes de travail en îlots avec dossiers documentaires

Materials: Dossier d'étude de cas (3 à 5 pages), Grille d'analyse méthodologique, Support de présentation des conclusions

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Prise de décision
• Autogestion

Enseigner ce sujet

Commencez par des situations concrètes, comme le problème de l'enclos, pour ancrer le sens des extremums dans un contexte réaliste avant d'introduire les définitions formelles. Évitez de présenter trop tôt les règles de dérivation pour les extremums, car cela peut masquer la compréhension des variations locales. Privilégiez la construction manuelle de tableaux de variations à partir de graphiques, car cette méthode visuelle et active renforce la compréhension des points critiques et des extremums.

À quoi s’attendre

Au terme des activités, les élèves savent distinguer sans hésitation un maximum local d'un maximum global, identifient systématiquement les bornes de l'intervalle et justifient leurs choix avec des arguments mathématiques précis, notamment à l'aide des tableaux de variations.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During the activity 'Think-Pair-Share : Local ou global ?', watch for students who assume that the highest peak on a graph is always the global maximum without checking the endpoints of the interval.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant cette activité, insistez sur le fait que chaque binôme doit examiner explicitement les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle avant de conclure. Utilisez une courbe avec un pic local élevé mais une valeur plus grande aux extrémités pour illustrer ce point.

Idée reçue courante

During the activity 'L'enclos optimal', watch for students who only consider the critical point inside the interval and ignore the cases where the width is 0 or maximal.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant cette activité, circulez entre les groupes et demandez à chaque élève d'expliquer pourquoi l'aire est nulle lorsque la largeur est 0 ou lorsque la largeur est maximale. Utilisez cette question pour recentrer l'attention sur l'importance des bornes.

Idée reçue courante

During the activity 'Gallery Walk : Du graphique au tableau de variations', watch for students who misclassify an increasing function on a closed interval as having no maximum.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant cette activité, demandez aux élèves de construire le tableau de variations de la fonction en notant explicitement la flèche montante jusqu'à la borne droite. Utilisez des exemples concrets où la fonction est strictement croissante pour ancrer cette compréhension.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After the activity 'Gallery Walk : Du graphique au tableau de variations', donnez aux élèves un graphique de fonction sur un intervalle donné. Demandez-leur d'entourer tous les extremums locaux et de souligner l'extremum global. Ils doivent ensuite écrire une phrase pour justifier leur choix pour l'extremum global.

Billet de sortie

After the activity 'Think-Pair-Share : Local ou global ?', présentez un tableau de variations simple. Posez la question : 'Quels sont les extremums locaux et globaux de cette fonction sur l'intervalle [-3, 5] ?' Les élèves doivent répondre en indiquant la valeur et la nature (maximum/minimum) de chaque extremum.

Question de discussion

During the activity 'L'enclos optimal', proposez le problème suivant : 'Une entreprise veut construire un enclos rectangulaire avec 100 mètres de clôture. Quelle doit être la forme de l'enclos pour maximiser son aire ?' Circulez entre les groupes pour écouter leurs discussions et notez si les élèves mentionnent explicitement la modélisation avec une fonction et la recherche de l'extremum global, incluant les cas limites.

Extensions et étayage

• Challenge : Proposez une fonction polynomiale de degré 3 sur un intervalle fermé et demandez aux élèves de déterminer tous les extremums locaux et globaux, en justifiant par des calculs et un tableau de variations.
• Scaffolding : Pour les élèves en difficulté, fournissez des graphiques avec des points déjà marqués et demandez-leur de compléter un tableau de variations simplifié.
• Deeper exploration : Introduisez une fonction définie par morceaux et demandez aux élèves d'identifier et de classifier les extremums sur un intervalle donné, en discutant des points de discontinuité.

Vocabulaire clé

Extremum local	Une valeur maximale ou minimale d'une fonction sur un intervalle restreint autour d'un point. C'est un sommet ou un creux dans le voisinage immédiat.
Extremum global	La valeur la plus grande (maximum global) ou la plus petite (minimum global) atteinte par une fonction sur l'ensemble de son intervalle d'étude.
Tableau de variations	Un tableau qui résume le sens de variation (croissance, décroissance) d'une fonction sur différents intervalles et indique les valeurs de ses extremums.
Intervalle d'étude	La portion de l'axe des abscisses sur laquelle la fonction est considérée. Les extremums globaux sont recherchés sur cet intervalle.