Comparaison des fonctions de référence

Ce chapitre gagne à être traité en activités car les élèves ont souvent du mal à différencier ces fonctions sans une confrontation directe avec leurs propriétés. Les manipulations concrètes (tracés, comparaisons, exemples numériques) ancrent les concepts abstraits comme la parité ou les variations dans des représentations visuelles et manipulables.

• Seconde
• Mathématiques : Raisonnement et Modélisation
• 4 activités
• 20 min–45 min

Objectifs d’apprentissage

1. Comparer les variations des fonctions carré, inverse et racine carrée sur des intervalles donnés.
2. Identifier la parité (paire, impaire, ni l'un ni l'autre) des fonctions de référence à partir de leur expression et de leur graphique.
3. Représenter graphiquement les fonctions de référence et prédire la forme d'une courbe à partir de son expression.
4. Expliquer comment les variations d'une fonction de référence permettent de comparer des nombres.
5. Résoudre graphiquement des équations et inéquations simples impliquant les fonctions de référence.

Rotation par ateliers

⏱ 45 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Fiche d'identité des fonctions

Trois stations, une par fonction de référence. À chaque station, le groupe complète une fiche d'identité (domaine, variations, parité, points remarquables, allure de la courbe). En fin de rotation, les groupes superposent leurs trois fiches pour comparer.

Préparation et détails

Comment reconnaître rapidement la courbe d'une fonction de référence à partir de son expression ?

Conseil de facilitation: Pendant la Station Rotation, circulez entre les groupes pour écouter les discussions et corriger immédiatement les erreurs sur les domaines de définition.

Setup: Tables ou bureaux organisés en 4 à 6 pôles distincts dans la salle

Materials: Fiches de consignes par station, Matériel spécifique à chaque activité, Minuteur pour les rotations

• Mémoriser
• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Quelle fonction se cache ici ?

L'enseignant affiche des courbes ou des expressions partiellement masquées. Les élèves identifient individuellement la fonction de référence, argumentent en binômes, puis la classe valide. Variante : proposer des fonctions transformées (2/x, 3x²).

Préparation et détails

Quels liens existent entre les variations des fonctions de référence et les inégalités ?

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Cercle de recherche

⏱ 35 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Résoudre sans calculer

Les groupes reçoivent des inéquations du type racine(5) > 5/3 ou 1/0,7 < 0,7². Sans calculatrice, ils utilisent les propriétés des fonctions de référence (variations, valeurs connues) pour conclure. Mise en commun des stratégies.

Préparation et détails

Comment utiliser les fonctions de référence pour résoudre des équations et des inéquations ?

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Galerie marchande

⏱ 40 min·Petits groupes

Galerie marchande: Superposition des courbes

Chaque groupe trace les trois fonctions de référence sur le même repère (pour x > 0). Ils annotent les points d'intersection, les zones où une courbe domine l'autre, et les comportements aux bornes. Circulation et discussion inter-groupes.

Préparation et détails

Comment reconnaître rapidement la courbe d'une fonction de référence à partir de son expression ?

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez toujours par faire tracer les trois fonctions à la main sur papier millimétré pour ancrer leurs formes. Évitez de donner les propriétés avant les tracés : les élèves doivent les découvrir par l'observation. Utilisez des couleurs différentes pour chaque fonction et superposez les courbes en grand format au tableau pour faciliter les comparaisons.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, les élèves doivent pouvoir identifier sans hésitation le domaine de définition, la parité et les variations de chaque fonction de référence. Ils doivent aussi justifier leurs choix en utilisant le vocabulaire précis et en mobilisant les graphiques et les exemples calculés.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During Station Rotation: Fiche d'identité des fonctions, certains élèves peuvent croire que la fonction inverse est toujours décroissante.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant cette activité, demandez aux élèves de tracer la fonction inverse sur tout son domaine et de comparer des valeurs comme f(-1) et f(1). Insistez sur le fait que la décroissance n'est valable que sur chaque intervalle de définition séparément.

Idée reçue courante

During Station Rotation: Fiche d'identité des fonctions, les élèves peuvent appliquer les variations d'une fonction sur un intervalle où elle n'est pas définie.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant cette activité, vérifiez que chaque groupe a bien écrit le domaine de définition avant de noter les variations. Utilisez des exemples comme racine(-2) pour montrer l'importance de respecter le domaine.

Idée reçue courante

During Think-Pair-Share: Quelle fonction se cache ici ?, les élèves peuvent confondre la parité d'une fonction avec la parité d'un nombre.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant ce temps de réflexion en binômes, demandez aux élèves de calculer f(2) et f(-2) pour chaque fonction et de vérifier si f(-x) = f(x) (paire) ou f(-x) = -f(x) (impaire). Utilisez un exemple comme f(-2) = 4 pour la fonction carré pour clarifier.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Après Station Rotation: Fiche d'identité des fonctions, distribuez une feuille avec les graphiques des trois fonctions sans leurs expressions. Demandez aux élèves d'associer chaque graphique à son expression (x², 1/x, √x) et d'écrire une propriété clé (domaine, variations, parité) pour chaque.

Billet de sortie

Après Think-Pair-Share: Quelle fonction se cache ici ?, posez la question suivante : 'Si 2 < 3, que peut-on dire de 1/2 et 1/3 ? Justifiez en utilisant les variations de la fonction inverse.' Les élèves écrivent leur réponse avant de quitter la classe.

Question de discussion

Après Collaborative Investigation: Résoudre sans calculer, lancez une discussion en demandant : 'Comment la connaissance des variations de la fonction carré nous aide-t-elle à comparer √5 et √7 sans calculatrice ?' Encouragez les élèves à expliquer le lien entre l'ordre des nombres et l'ordre de leurs images par la fonction.

Extensions et étayage

• Challenge : Proposez aux élèves de tracer la fonction cube (x -> x^3) et de comparer ses propriétés à celles des trois fonctions de référence.
• Scaffolding : Pour les élèves en difficulté, fournissez des tableaux de valeurs pré-remplis pour les fonctions inverse et racine carrée afin de faciliter les calculs et les comparaisons.
• Deeper : Invitez les élèves à explorer les fonctions composées comme f(x) = 1/(x+1) ou g(x) = sqrt(-x) pour voir comment les transformations affectent les propriétés des fonctions de référence.

Vocabulaire clé

Fonction carré	La fonction f(x) = x², dont le graphique est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction inverse	La fonction f(x) = 1/x, dont le graphique est une hyperbole avec deux branches dans les premier et troisième quadrants, symétrique par rapport à l'origine.
Fonction racine carrée	La fonction f(x) = √x, dont le graphique commence à l'origine et s'étend vers la droite, uniquement dans le premier quadrant.
Variations d'une fonction	L'étude de la croissance (croissante) ou de la décroissance (décroissante) d'une fonction sur un intervalle donné, indiquée par des flèches sur un tableau de variations ou par la pente de la courbe.
Parité d'une fonction	Propriété d'une fonction d'être paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, f(-x) = f(x)) ou impaire (symétrique par rapport à l'origine, f(-x) = -f(x)).