Mathématiques · Seconde

Idées d’apprentissage actif

Comparaison des fonctions de référence

Ce chapitre gagne à être traité en activités car les élèves ont souvent du mal à différencier ces fonctions sans une confrontation directe avec leurs propriétés. Les manipulations concrètes (tracés, comparaisons, exemples numériques) ancrent les concepts abstraits comme la parité ou les variations dans des représentations visuelles et manipulables.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee-FON-17
• EDNAT: Lycee-FON-18

• 20–45 min
• Binômes → Classe entière
• 4 activités

Activité 01

• Rotation par ateliers
• 45 min · Petits groupes

Rotation par ateliers: Fiche d'identité des fonctions

Trois stations, une par fonction de référence. À chaque station, le groupe complète une fiche d'identité (domaine, variations, parité, points remarquables, allure de la courbe). En fin de rotation, les groupes superposent leurs trois fiches pour comparer.

Comment reconnaître rapidement la courbe d'une fonction de référence à partir de son expression ?

Conseil de facilitation

Pendant la Station Rotation, circulez entre les groupes pour écouter les discussions et corriger immédiatement les erreurs sur les domaines de définition.

À observer

Distribuer une feuille avec les graphiques des trois fonctions de référence sans leur expression. Demander aux élèves d'associer chaque graphique à son expression (x², 1/x, √x) et d'indiquer une propriété clé (domaine, variations) pour chaque.

• Mémoriser
• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Activité 02

• Penser-Partager-Présenter
• 20 min · Binômes

Penser-Partager-Présenter: Quelle fonction se cache ici ?

L'enseignant affiche des courbes ou des expressions partiellement masquées. Les élèves identifient individuellement la fonction de référence, argumentent en binômes, puis la classe valide. Variante : proposer des fonctions transformées (2/x, 3x²).

Quels liens existent entre les variations des fonctions de référence et les inégalités ?

À observer

Poser la question suivante : 'Si 2 < 3, que peut-on dire de 1/2 et 1/3 ? Justifiez en utilisant les variations de la fonction inverse.' Les élèves écrivent leur réponse sur un papier avant de quitter la classe.

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Activité 03

• Cercle de recherche
• 35 min · Petits groupes

Cercle de recherche: Résoudre sans calculer

Les groupes reçoivent des inéquations du type racine(5) > 5/3 ou 1/0,7 < 0,7². Sans calculatrice, ils utilisent les propriétés des fonctions de référence (variations, valeurs connues) pour conclure. Mise en commun des stratégies.

Comment utiliser les fonctions de référence pour résoudre des équations et des inéquations ?

À observer

Lancer une discussion en demandant : 'Comment la connaissance des variations de la fonction carré nous aide-t-elle à comparer √5 et √7 sans utiliser de calculatrice ?' Encourager les élèves à expliquer le lien entre l'ordre des nombres et l'ordre de leurs images par la fonction.

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Activité 04

• Galerie marchande
• 40 min · Petits groupes

Galerie marchande: Superposition des courbes

Chaque groupe trace les trois fonctions de référence sur le même repère (pour x > 0). Ils annotent les points d'intersection, les zones où une courbe domine l'autre, et les comportements aux bornes. Circulation et discussion inter-groupes.

Comment reconnaître rapidement la courbe d'une fonction de référence à partir de son expression ?

À observer

Distribuer une feuille avec les graphiques des trois fonctions de référence sans leur expression. Demander aux élèves d'associer chaque graphique à son expression (x², 1/x, √x) et d'indiquer une propriété clé (domaine, variations) pour chaque.

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Quelques notes pour enseigner cette unité

Commencez toujours par faire tracer les trois fonctions à la main sur papier millimétré pour ancrer leurs formes. Évitez de donner les propriétés avant les tracés : les élèves doivent les découvrir par l'observation. Utilisez des couleurs différentes pour chaque fonction et superposez les courbes en grand format au tableau pour faciliter les comparaisons.

À la fin de ces activités, les élèves doivent pouvoir identifier sans hésitation le domaine de définition, la parité et les variations de chaque fonction de référence. Ils doivent aussi justifier leurs choix en utilisant le vocabulaire précis et en mobilisant les graphiques et les exemples calculés.

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Attention à ces idées reçues

• During Station Rotation: Fiche d'identité des fonctions, certains élèves peuvent croire que la fonction inverse est toujours décroissante.

  Pendant cette activité, demandez aux élèves de tracer la fonction inverse sur tout son domaine et de comparer des valeurs comme f(-1) et f(1). Insistez sur le fait que la décroissance n'est valable que sur chaque intervalle de définition séparément.

• During Station Rotation: Fiche d'identité des fonctions, les élèves peuvent appliquer les variations d'une fonction sur un intervalle où elle n'est pas définie.

  Pendant cette activité, vérifiez que chaque groupe a bien écrit le domaine de définition avant de noter les variations. Utilisez des exemples comme racine(-2) pour montrer l'importance de respecter le domaine.

• During Think-Pair-Share: Quelle fonction se cache ici ?, les élèves peuvent confondre la parité d'une fonction avec la parité d'un nombre.

  Pendant ce temps de réflexion en binômes, demandez aux élèves de calculer f(2) et f(-2) pour chaque fonction et de vérifier si f(-x) = f(x) (paire) ou f(-x) = -f(x) (impaire). Utilisez un exemple comme f(-2) = 4 pour la fonction carré pour clarifier.

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Méthodes utilisées dans ce dossier

• Rotation par ateliers
• Penser-Partager-Présenter
• Cercle de recherche
• Galerie marchande