Mathématiques · Seconde · Fonctions : Modélisation et Analyse · 2e Trimestre

Comparaison des fonctions de référence

Les élèves comparent les propriétés (domaine, variations, parité, graphiques) des fonctions carré, inverse et racine carrée.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee-FON-17
• EDNAT: Lycee-FON-18

À propos de ce thème

Ce chapitre synthétise l'étude des trois fonctions de référence du programme de Seconde : la fonction carré (x -> x²), la fonction inverse (x -> 1/x) et la fonction racine carrée (x -> racine(x)). Les élèves comparent systématiquement leurs domaines de définition, leurs variations, leur parité et leurs graphiques pour construire un répertoire de fonctions utilisable dans les problèmes.

Savoir reconnaître rapidement une fonction de référence à partir de son expression ou de sa courbe est une compétence transversale qui facilite la résolution d'équations et d'inéquations. Les liens entre variations et inégalités (si f est croissante sur I et a < b, alors f(a) < f(b)) constituent un outil puissant pour comparer des expressions sans calcul.

Les activités comparatives en groupe (tableaux à compléter, superposition de courbes, résolution d'inéquations par comparaison graphique) permettent aux élèves de passer d'une connaissance isolée de chaque fonction à une vision d'ensemble structurée et opérationnelle.

Questions clés

1. Comment reconnaître rapidement la courbe d'une fonction de référence à partir de son expression ?
2. Quels liens existent entre les variations des fonctions de référence et les inégalités ?
3. Comment utiliser les fonctions de référence pour résoudre des équations et des inéquations ?

Objectifs d'apprentissage

• Comparer les variations des fonctions carré, inverse et racine carrée sur des intervalles donnés.
• Identifier la parité (paire, impaire, ni l'un ni l'autre) des fonctions de référence à partir de leur expression et de leur graphique.
• Représenter graphiquement les fonctions de référence et prédire la forme d'une courbe à partir de son expression.
• Expliquer comment les variations d'une fonction de référence permettent de comparer des nombres.
• Résoudre graphiquement des équations et inéquations simples impliquant les fonctions de référence.

Avant de commencer

Introduction aux fonctions

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser les notions de base comme l'ensemble de définition, l'image, l'antécédent et la représentation graphique d'une fonction.

Notion de fonction croissante et décroissante

Pourquoi : La comparaison des variations est au cœur de ce sujet, il est donc essentiel que les élèves aient déjà abordé cette notion.

Repérage dans le plan

Pourquoi : La construction et l'interprétation des graphiques des fonctions nécessitent une bonne compréhension du système de coordonnées cartésiennes.

Vocabulaire clé

Fonction carré	La fonction f(x) = x², dont le graphique est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction inverse	La fonction f(x) = 1/x, dont le graphique est une hyperbole avec deux branches dans les premier et troisième quadrants, symétrique par rapport à l'origine.
Fonction racine carrée	La fonction f(x) = √x, dont le graphique commence à l'origine et s'étend vers la droite, uniquement dans le premier quadrant.
Variations d'une fonction	L'étude de la croissance (croissante) ou de la décroissance (décroissante) d'une fonction sur un intervalle donné, indiquée par des flèches sur un tableau de variations ou par la pente de la courbe.
Parité d'une fonction	Propriété d'une fonction d'être paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, f(-x) = f(x)) ou impaire (symétrique par rapport à l'origine, f(-x) = -f(x)).

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Croire que la fonction inverse est toujours décroissante.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La fonction inverse est décroissante sur ]0, +infini[ et décroissante sur ]-infini, 0[, mais elle n'est pas décroissante sur son domaine entier (on ne peut pas comparer 1/(-1) et 1/1 par la décroissance). Le tracé en groupe sur tout le domaine met en évidence cette subtilité.

Idée reçue courante

Appliquer les variations d'une fonction sur un intervalle où elle n'est pas définie.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Par exemple, comparer racine(-2) et racine(3) n'a pas de sens. Les fiches d'identité en station obligent à écrire le domaine avant les variations, ce qui installe le bon réflexe.

Idée reçue courante

Confondre la parité d'une fonction avec la parité d'un nombre.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Une fonction paire vérifie f(-x) = f(x) (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Une fonction impaire vérifie f(-x) = -f(x). La vérification sur des exemples numériques en binômes (calculer f(2) et f(-2) pour chaque fonction) clarifie cette notion.

Idées d'apprentissage actif

Rotation par ateliers: Fiche d'identité des fonctions

Trois stations, une par fonction de référence. À chaque station, le groupe complète une fiche d'identité (domaine, variations, parité, points remarquables, allure de la courbe). En fin de rotation, les groupes superposent leurs trois fiches pour comparer.

45 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Quelle fonction se cache ici ?

L'enseignant affiche des courbes ou des expressions partiellement masquées. Les élèves identifient individuellement la fonction de référence, argumentent en binômes, puis la classe valide. Variante : proposer des fonctions transformées (2/x, 3x²).

20 min·Binômes

Cercle de recherche: Résoudre sans calculer

Les groupes reçoivent des inéquations du type racine(5) > 5/3 ou 1/0,7 < 0,7². Sans calculatrice, ils utilisent les propriétés des fonctions de référence (variations, valeurs connues) pour conclure. Mise en commun des stratégies.

35 min·Petits groupes

Galerie marchande: Superposition des courbes

Chaque groupe trace les trois fonctions de référence sur le même repère (pour x > 0). Ils annotent les points d'intersection, les zones où une courbe domine l'autre, et les comportements aux bornes. Circulation et discussion inter-groupes.

40 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• En architecture, la forme parabolique de la fonction carré est utilisée pour concevoir des ponts en arc ou des antennes paraboliques afin de concentrer les ondes.
• En physique, la fonction inverse décrit la relation entre la pression et le volume d'un gaz à température constante (loi de Boyle-Mariotte), pertinente pour les ingénieurs en mécanique.
• La fonction racine carrée apparaît dans des formules de calcul d'aires ou de distances, par exemple pour déterminer la longueur d'une diagonale dans un carré ou pour des calculs en électricité.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Distribuer une feuille avec les graphiques des trois fonctions de référence sans leur expression. Demander aux élèves d'associer chaque graphique à son expression (x², 1/x, √x) et d'indiquer une propriété clé (domaine, variations) pour chaque.

Billet de sortie

Poser la question suivante : 'Si 2 < 3, que peut-on dire de 1/2 et 1/3 ? Justifiez en utilisant les variations de la fonction inverse.' Les élèves écrivent leur réponse sur un papier avant de quitter la classe.

Question de discussion

Lancer une discussion en demandant : 'Comment la connaissance des variations de la fonction carré nous aide-t-elle à comparer √5 et √7 sans utiliser de calculatrice ?' Encourager les élèves à expliquer le lien entre l'ordre des nombres et l'ordre de leurs images par la fonction.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une fonction de référence à partir de sa courbe ?

La parabole (symétrique, en U) identifie la fonction carré. L'hyperbole (deux branches dans les quadrants I et III) identifie la fonction inverse. La demi-parabole couchée (croissante qui ralentit) identifie la racine carrée. Ces formes caractéristiques doivent devenir des réflexes visuels en Seconde.

Comment utiliser les variations d'une fonction pour comparer des nombres ?

Si f est croissante sur un intervalle et a < b dans cet intervalle, alors f(a) < f(b). Par exemple, comme la racine carrée est croissante, racine(5) < racine(7). Comme la fonction inverse est décroissante sur ]0, +infini[, 1/5 > 1/7. Ce raisonnement évite les calculs.

Quels sont les domaines de définition des trois fonctions de référence ?

La fonction carré est définie sur tout R (tout nombre réel a un carré). La fonction inverse est définie sur R privé de 0 (la division par 0 est interdite). La fonction racine carrée est définie sur [0, +infini[ (pas de racine carrée réelle d'un nombre négatif).

Comment l'apprentissage actif aide-t-il à comparer les fonctions de référence ?

La superposition des courbes sur un même repère permet de voir directement quelle fonction domine l'autre sur chaque intervalle. Les fiches d'identité en stations structurent la comparaison. Le travail de résolution d'inéquations sans calculatrice oblige à mobiliser les propriétés plutôt qu'à calculer.