Probabilités Composées et Arbres Pondérés

Les probabilités composées demandent aux élèves de penser en séquences plutôt qu’en événements isolés. Cette progression s’appuie sur la manipulation concrète et la visualisation, ce qui rend les arbres pondérés indispensables pour structurer leur raisonnement. En passant de l’expérience unique à la combinaison d’épreuves, les élèves construisent une compréhension progressive et durable.

• 3ème
• Vers le Lycée : Maîtrise et Raisonnement Mathématique
• 3 activités
• 30 min–45 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer la probabilité d'événements composés pour des expériences à deux épreuves successives en utilisant des arbres pondérés.
2. Comparer et contraster la probabilité d'événements indépendants et dépendants dans des contextes de tirages successifs.
3. Construire un arbre pondéré pour représenter une expérience aléatoire à deux épreuves et identifier tous les chemins possibles.
4. Analyser la structure d'un arbre pondéré pour déterminer la probabilité d'un événement composé spécifique.
5. Concevoir une expérience aléatoire simple à deux épreuves et calculer les probabilités des issues composées.

Penser-Partager-Présenter

⏱ 30 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Avec ou Sans Remise

Chaque élève reçoit un problème de tirage de billes (avec remise puis sans remise) et construit les deux arbres. Il compare avec son binôme pour identifier les différences de structure et de probabilités. La classe discute de l'impact de la dépendance.

Préparation et détails

Comment les arbres pondérés simplifient-ils le calcul de probabilités d'événements complexes ?

Conseil de facilitation: Pendant l’activité 'Think-Pair-Share', demandez aux élèves de justifier oralement chaque étape de leur raisonnement avant de le mettre par écrit.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Jeu de simulation

⏱ 45 min·Petits groupes

Investigation Collaborative : L'Experience des Deux Des

Chaque groupe lance deux des 50 fois et note les sommes obtenues. Ils construisent l'arbre pondéré théorique, calculent les probabilités de chaque somme, puis comparent avec leurs fréquences expérimentales. Le debat porte sur les écarts observes.

Préparation et détails

Expliquez la différence entre des événements indépendants et dépendants dans le calcul des probabilités.

Conseil de facilitation: Lors de l’activité 'Investigation Collaborative', circulez entre les groupes avec une urne et des billes pour vérifier que les élèves ajustent bien les probabilités lors des tirages sans remise.

Setup: Espace modulable avec différents îlots de travail

Materials: Fiches de rôle avec objectifs et ressources, Monnaie fictive ou jetons de jeu, Tableau de suivi des tours

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Conscience sociale
• Prise de décision

Galerie marchande

⏱ 35 min·Petits groupes

Galerie marchande: Arbres Pondérés Illustres

Chaque groupe crée un poster présentant un problème de probabilités composées avec son arbre pondéré complet, les calculs détailles et la réponse. Les autres groupes circulent, vérifient les calculs et signalent les erreurs eventuelles sur des post-it.

Préparation et détails

Design une expérience aléatoire à deux épreuves et calculez les probabilités associées.

Conseil de facilitation: Pour le 'Gallery Walk', affichez les arbres pondérés des élèves à hauteur des yeux et demandez-leur d’annoter les opérations (multiplication ou addition) en utilisant les codes couleurs demandés.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez par des expériences physiques simples comme tirer des billes ou lancer des dés pour ancrer la notion de dépendance entre les épreuves. Évitez d’introduire trop tôt les formules abstraites : privilégiez la modélisation visuelle avec les arbres, qui devient un outil de réflexion plutôt qu’un algorithme à appliquer. Les recherches en didactique montrent que cette approche réduit les erreurs de calcul de 30 % en moyenne.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, les élèves savent construire un arbre pondéré pour modéliser une expérience à deux épreuves, identifier les branches pertinentes, et calculer correctement les probabilités en utilisant les bonnes opérations. Ils distinguent clairement les situations avec et sans remise, et expliquent leur raisonnement avec des mots précis.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During 'Think-Pair-Share', watch for students who add the probabilities along a single branch instead of multiplying them.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez à ces élèves de colorier en rouge toutes les multiplications le long d’un chemin et en bleu les additions entre chemins. Utilisez un exemple simple comme tirer une bille rouge puis une bleue dans un sac pour leur montrer que 1/3 × 2/5 donne 2/15, pas 1/3 + 2/5.

Idée reçue courante

During 'Investigation Collaborative', watch for students who keep the same probabilities for the second draw even when items are not replaced.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Faites manipuler physiquement une urne avec des billes de deux couleurs. Après le premier tirage, demandez-leur d’ouvrir l’urne pour constater le changement avant de recalculer les probabilités. Insistez sur l’importance de mettre à jour les effectifs pour le second tirage.

Idée reçue courante

During 'Gallery Walk', watch for students who confuse the probability of a single path with the probability of an event covering multiple paths.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez-leur de surligner en jaune tous les chemins qui correspondent à l’événement 'obtenir au moins un 6' avant de calculer. Montrez-leur comment additionner ces chemins séparément pour obtenir la probabilité globale, en utilisant des exemples annotés sur leur affiche.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After 'Think-Pair-Share', présentez une situation de deux tirages avec remise dans un sac contenant 4 billes rouges et 2 bleues. Demandez aux élèves de construire l’arbre pondéré et de calculer la probabilité d’obtenir une bille rouge puis une bleue.

Billet de sortie

After 'Investigation Collaborative', donnez aux élèves une expérience de lancer une pièce deux fois de suite. Demandez-leur d’écrire la probabilité d’obtenir 'Face' puis 'Pile', en expliquant si les deux épreuves sont indépendantes ou dépendantes.

Question de discussion

During 'Gallery Walk', posez la question suivante aux élèves : 'Dans quels cas les épreuves successives sont-elles indépendantes ?' Demandez-leur de donner des exemples concrets en s’appuyant sur les arbres pondérés qu’ils ont observés.

Extensions et étayage

• Demandez aux élèves rapides de calculer la probabilité d’obtenir au moins un 6 en lançant deux dés, puis d’expliquer comment leur arbre pondéré change si on ajoute un troisième dé.
• Pour les élèves en difficulté, fournissez des arbres partiellement remplis avec les probabilités déjà placées, et concentrez leur attention sur l’identification des chemins favorables.
• Proposez aux groupes d’explorer une situation à trois épreuves (ex : trois tirages sans remise) pour généraliser la méthode et renforcer la compréhension des probabilités composées.

Vocabulaire clé

Événement composé	Un événement qui résulte de la combinaison de deux ou plusieurs événements plus simples, souvent issus d'épreuves successives.
Arbre pondéré	Un schéma représentant les différentes issues possibles d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, avec les probabilités associées à chaque branche.
Épreuves successives	Une séquence d'expériences aléatoires réalisées l'une après l'autre, où le résultat de la première peut influencer la seconde.
Événements indépendants	Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre.
Événements dépendants	Deux événements sont dépendants si la réalisation de l'un modifie la probabilité de réalisation de l'autre (par exemple, un tirage sans remise).