Mathematik · Klasse 10

Ideen für aktives Lernen

Anwendungen der Trigonometrie in der Vermessung

Aktives, praktisches Lernen eignet sich besonders für dieses Thema, weil Schülerinnen und Schüler die Trigonometrie nicht nur als abstrakte Formeln wahrnehmen, sondern ihre Bedeutung in realen Vermessungssituationen erleben. Durch das Messen und Berechnen von Höhen und Entfernungen verstehen sie, warum der Sinus- und Kosinussatz benötigt werden und wie sie in der Praxis angewendet werden.

• KMK Bildungsstandards
• LehrplanPLUS Bayern Gymnasium 10: M 10.2 Trigonometrie, Sinus, Kosinus und Tangens für beliebige Winkel am Einheitskreis definieren
• Kernlehrplan NRW G9 Sek I: Inhaltsfeld Geometrie, Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis zur Verallgemeinerung der Definitionen aus der Sekundarstufe I
• KMK Bildungsstandards MSA: L2 Funktionaler Zusammenhang, die Sinusfunktion zur Beschreibung periodischer Vorgänge verwenden

• 25–45 Min.
• Partnerarbeit → Ganze Klasse
• 4 Aktivitäten

Aktivität 01

• Problemorientiertes Lernen
• 30 Min. · Partnerarbeit

Paararbeit: Höhe eines Baums vermessen

Paare wählen einen Baum auf dem Schulhof, messen den Abstand zum Stamm und den Winkel zur Baumkrone mit einem Inklinometer. Sie berechnen die Höhe mit dem Tangens oder Sinus und vergleichen mit einer klinimetrischen Messung. Abschließend diskutieren sie Abweichungen.

Wie kann man die Höhe eines unzugänglichen Objekts mit Trigonometrie bestimmen?

Moderationstipp

Stellen Sie für die Paararbeit zwei markante Bäume mit unterschiedlichen Standorten bereit, damit die Schüler unterschiedliche Messbedingungen erfahren.

Worauf zu achten ist

Geben Sie den Schülerinnen und Schülern eine Skizze eines unzugänglichen Objekts (z.B. Turm) mit zwei gemessenen Winkeln und einer bekannten Entfernung zu einem Messpunkt. Bitten Sie sie, die Höhe des Objekts zu berechnen und den verwendeten Satz (Sinus oder Kosinus) anzugeben.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Entscheidungsfähigkeit
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit

Aktivität 02

• Problemorientiertes Lernen
• 45 Min. · Kleingruppen

Small Groups: Geländevermessung mit Kosinussatz

Gruppen teilen ein Geländemodell in Dreiecke ein, messen Seitenlängen und Winkel. Sie wenden den Kosinussatz an, um fehlende Abstände zu ermitteln, und erstellen eine Skizze. Jede Gruppe präsentiert ihre Strategie.

Vergleichen Sie die Anwendungsbereiche des Sinus- und Kosinussatzes.

Moderationstipp

Legen Sie in der Geländevermessung ein unebenes Gelände fest, damit die Schüler den Kosinussatz für die Berechnung von Strecken in schrägen Dreiecken anwenden müssen.

Worauf zu achten ist

Stellen Sie die Frage: 'Unter welchen Bedingungen würden Sie den Sinussatz und unter welchen den Kosinussatz zur Höhenbestimmung eines Baumes bevorzugen?' Lassen Sie die Schülerinnen und Schüler ihre Antworten in Kleingruppen diskutieren und die Begründungen im Plenum vorstellen.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Entscheidungsfähigkeit
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit

Aktivität 03

• Problemorientiertes Lernen
• 40 Min. · Ganze Klasse

Whole Class: Vergleich der trigonometrischen Sätze

Die Klasse löst gemeinsam eine Vermessungsaufgabe mit zwei Ansätzen: Sinus- und Kosinussatz. Schüler notieren Vor- und Nachteile an der Tafel, diskutieren Anwendungsbereiche und wählen den passenden Satz für gegebene Szenarien.

Designen Sie eine Vermessungsstrategie für ein gegebenes Gelände unter Verwendung trigonometrischer Prinzipien.

Moderationstipp

Führen Sie den Vergleich der trigonometrischen Sätze als Gallery Walk durch, bei dem jede Gruppe ihre Ergebnisse und Begründungen an der Tafel präsentiert.

Worauf zu achten ist

Jede Schülerin und jeder Schüler erhält eine Aufgabe, bei der sie eine einfache Vermessungsstrategie für ein fiktives Gelände (z.B. Hügel mit einem Fluss) entwerfen sollen. Sie sollen angeben, welche Messungen sie durchführen würden und welche trigonometrischen Sätze sie zur Berechnung von Höhen und Entfernungen anwenden würden.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Entscheidungsfähigkeit
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit

Aktivität 04

• Problemorientiertes Lernen
• 25 Min. · Einzelarbeit

Individual: Simulationsaufgabe optimieren

Jeder Schüler entwirft eine Vermessungsstrategie für ein Foto eines Geländes, berechnet mit Trigonomterie und notiert Messfehlerquellen. Im Plenum teilen sie Ideen und verbessern gegenseitig.

Wie kann man die Höhe eines unzugänglichen Objekts mit Trigonometrie bestimmen?

Moderationstipp

Geben Sie der Individualaufgabe eine klar begrenzte Zeit vor, um realistische Bedingungen einer Vermessungssituation zu simulieren.

Worauf zu achten ist

Geben Sie den Schülerinnen und Schülern eine Skizze eines unzugänglichen Objekts (z.B. Turm) mit zwei gemessenen Winkeln und einer bekannten Entfernung zu einem Messpunkt. Bitten Sie sie, die Höhe des Objekts zu berechnen und den verwendeten Satz (Sinus oder Kosinus) anzugeben.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Entscheidungsfähigkeit
• Selbststeuerung
• Beziehungsfähigkeit

Einige Hinweise zum Unterrichten dieser Einheit

Beginne mit einer kurzen Einführung, in der du die Bedeutung der Trigonometrie in der Vermessung zeigst, z.B. durch Bilder von Landvermessern oder Bauingenieuren. Vermeide es, die Sätze direkt zu erklären. Stattdessen lass die Schüler durch die Aktivitäten selbst entdecken, wann welcher Satz anwendbar ist. Achte darauf, dass sie nicht nur rechnen, sondern auch ihre Messungen und Ergebnisse kritisch reflektieren. Nutze Fehler als Lernchance, indem du gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern nach den Ursachen forschst.

Am Ende können die Schülerinnen und Schüler selbstständig Höhen unzugänglicher Objekte bestimmen, die Auswahl des passenden trigonometrischen Satzes begründen und ihre Vermessungsstrategie kritisch hinterfragen. Sie erkennen Fehlerquellen wie Messungenauigkeiten und können diese durch gezielte Maßnahmen verringern.

---

Vorsicht vor diesen Fehlvorstellungen

• Während der Paararbeit zur Baumvermessung beobachten Sie, wie Schüler den Sinussatz auf ein Dreieck anwenden, das nur zwei Seiten und einen Winkel hat.

  Fordern Sie die Gruppe auf, die gegebenen Elemente im Dreieck zu markieren und zu prüfen, ob der Sinussatz anwendbar ist. Zeigen Sie ihnen am konkreten Beispiel, dass der Kosinussatz hier die korrekte Wahl ist.

• Während der Geländevermessung mit dem Kosinussatz nehmen einige Schüler an, dass der gemessene Winkel immer exakt 90 Grad betragen muss.

  Lassen Sie die Schüler ihre gemessenen Winkel im Gelände überprüfen und diskutieren Sie, warum auch schräge Winkel mit dem Kosinussatz berechnet werden können.

• Während der Individualaufgabe zur Simulationsaufgabe optimieren gehen einige Schüler davon aus, dass die trigonometrischen Sätze jede Ungenauigkeit ausgleichen können.

  Besprechen Sie mit den Schülerinnen und Schülern, wie Messfehler durch wiederholte Messungen und Mittelwertbildung reduziert werden können. Zeigen Sie ihnen, wie sie Fehlerbalken in ihren Berechnungen berücksichtigen.

---

In dieser Übersicht verwendete Methoden

• Problemorientiertes Lernen