Lois à densité : Loi uniforme

Les élèves abordent souvent avec surprise l’idée que la probabilité d’un point précis soit nulle dans une loi continue. Travailler par simulation et investigation collaborative permet de rendre cette notion abstraite concrète en visualisant la distribution comme une aire sous une courbe, ce qu’un cours magistral seul ne permet pas.

• Terminale
• Mathématiques : Vers l\\
• 3 activités
• 20 min–40 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer la probabilité d'un événement sur un intervalle donné pour une loi uniforme.
2. Expliquer pourquoi la probabilité d'une valeur ponctuelle est nulle dans une loi à densité.
3. Déterminer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme.
4. Comparer les résultats d'une simulation informatique d'une loi uniforme avec les valeurs théoriques.
5. Modéliser une situation concrète simple à l'aide de la loi uniforme.

Cercle de recherche

⏱ 40 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Simulation et convergence

En petits groupes, les élèves programment en Python un générateur de nombres aléatoires uniformes sur [0,1]. Ils calculent la moyenne empirique pour 10, 100, 1000 et 10000 tirages, puis comparent avec l'espérance théorique. Chaque groupe présente ses résultats et discute de la vitesse de convergence.

Préparation et détails

Pourquoi la probabilité de tomber exactement sur un nombre est-elle nulle?

Conseil de facilitation: Lors de la simulation et convergence, circulez pour vérifier que chaque groupe note correctement la probabilité théorique sur son intervalle, pas seulement le résultat de la simulation.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Probabilité ponctuelle nulle

Posez la question : « Si je choisis un nombre au hasard entre 0 et 1, quelle est la probabilité d'obtenir exactement 0.5 ? » Chaque élève réfléchit seul, échange avec un partenaire, puis les paires partagent leur raisonnement. Ce paradoxe apparent suscite des discussions riches.

Préparation et détails

Comment calculer l'espérance d'une variable uniforme?

Conseil de facilitation: Pendant le Penser-Partager-Présenter, donnez 30 secondes de silence après la consigne pour que chacun formule sa pensée avant de partager en binôme.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Galerie marchande

⏱ 35 min·Petits groupes

Galerie marchande: Applications de la loi uniforme

Quatre stations présentent des contextes réels (temps d'attente, erreur d'arrondi, angle aléatoire, coordonnée GPS). Les groupes circulent, identifient pourquoi la loi uniforme s'applique dans chaque cas et calculent les probabilités demandées.

Préparation et détails

Comment simuler une loi uniforme sur un ordinateur?

Conseil de facilitation: Lors de la Galerie marchande, imposez une rotation toutes les 90 secondes pour éviter que les élèves ne restent bloqués sur la première affiche.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez toujours par une situation concrète que les élèves vivent (ex : temps d’attente simulé à l’aide d’un générateur aléatoire). Insistez sur le passage du discret au continu en montrant visuellement que la probabilité ponctuelle devient nulle quand on réduit l’intervalle à un point. Évitez de présenter la formule trop tôt : faites-la émerger des besoins de calcul lors des activités.

À quoi s’attendre

Les élèves distinguent clairement loi discrète et loi à densité, calculent des probabilités sur des intervalles avec la formule (b-a)/(d-c), expliquent pourquoi P(X = x) = 0 et reconnaissent des situations concrètes modélisables par une loi uniforme. Leur langage montre qu’ils utilisent le terme 'densité de probabilité' avec précision.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During Collaborative Investigation : Simulation et convergence, certains élèves pensent que la simulation doit donner exactement la probabilité théorique pour valider la loi uniforme.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant cette activité, redirigez-les vers la loi des grands nombres : montrez que la proportion se rapproche de la probabilité théorique quand le nombre de simulations augmente, mais que l’égalité parfaite n’est pas attendue.

Idée reçue courante

During Penser-Partager-Présenter : Probabilité ponctuelle nulle, des élèves affirment qu’une valeur précise a une probabilité 'très petite mais non nulle'.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Utilisez la structure du Penser-Partager-Présenter pour les faire calculer l’aire sous la courbe pour un intervalle de longueur nulle : ils constateront que l’aire est 0, ce qui les obligera à reformuler leur idée.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After Collaborative Investigation : Simulation et convergence, demandez aux élèves de calculer la probabilité théorique d’un intervalle [3, 4] pour une loi uniforme sur [2, 5] puis de répondre par écrit à 'Quelle est la probabilité que X soit exactement égal à 3.5 ?'. Ramassez les réponses pour vérifier la compréhension de la probabilité nulle sur un point.

Billet de sortie

After Penser-Partager-Présenter : Probabilité ponctuelle nulle, distribuez une fiche où les élèves doivent écrire la formule de l’espérance d’une loi uniforme sur [a, b] et donner un exemple concret d’une situation modélisable par cette loi. Cela valide à la fois la maîtrise de la formule et la compréhension du modèle.

Question de discussion

During Galerie marchande : Applications de la loi uniforme, lancez une discussion en demandant : 'Pourquoi est-il plus pertinent de parler de probabilité sur un intervalle plutôt que sur un point unique avec les lois à densité ?' Circulez pour écouter les formulations et encourager l’usage du terme 'densité de probabilité' dans leurs réponses.

Extensions et étayage

• Challenge : Proposez un intervalle [-3, 7] et demandez de calculer la probabilité que X soit dans [1, 10]. Les élèves doivent ajuster les bornes et justifier pourquoi P(X > 7) = 0.
• Scaffolding : Pour les élèves en difficulté, fournissez une représentation graphique de la densité avec l’aire sous la courbe déjà colorée pour [a, b] et demandez de calculer P(c ≤ X ≤ d) par simple lecture de l’aire.
• Deeper exploration : Demandez aux élèves de comparer deux lois uniformes sur [0, 1] et [0, 10] en calculant leurs espérances et écarts-types, puis de discuter ce que cela implique sur la concentration des valeurs.

Vocabulaire clé

Loi uniforme continue	Une loi de probabilité sur un intervalle [a, b] où la densité de probabilité est constante et égale à 1/(b-a).
Densité de probabilité	Une fonction f(x) telle que la probabilité qu'une variable aléatoire X appartienne à un intervalle [c, d] est donnée par l'intégrale de f(x) sur cet intervalle.
Espérance mathématique	La valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire, calculée par l'intégrale de x * f(x) sur l'intervalle de définition.
Variance	Une mesure de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance, calculée comme E[X^2] - (E[X])^2.