Sommes de variables aléatoires

Travailler sur les sommes de variables aléatoires en classe active permet aux élèves de dépasser la simple application de formules. En manipulant concrètement des dés, des calculs ou des exemples corrélés, ils donnent du sens à la linéarité de l'espérance et aux conditions de la variance.

• Terminale
• Mathématiques : Vers l\\
• 4 activités
• 25 min–40 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer l'espérance et la variance d'une somme de deux variables aléatoires discrètes dans des cas simples.
2. Expliquer la condition d'indépendance nécessaire pour que la variance d'une somme soit la somme des variances.
3. Comparer l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes et non indépendantes.
4. Analyser des situations concrètes impliquant l'addition de risques ou de gains pour appliquer les propriétés de l'espérance et de la variance.
5. Démontrer la linéarité de l'espérance en utilisant la définition de l'espérance mathématique.

Cercle de recherche

⏱ 35 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Le jeu des deux dés

Chaque groupe lance deux dés 50 fois, note la somme à chaque lancer. Ils calculent la moyenne et la variance empiriques de la somme, puis comparent avec les valeurs théoriques obtenues par E(X+Y) = E(X) + E(Y) et V(X+Y) = V(X) + V(Y) (dés indépendants).

Préparation et détails

Pourquoi l'espérance d'une somme est-elle toujours la somme des espérances?

Conseil de facilitation: Pour le jeu des deux dés, préparez deux ensembles de dés légèrement modifiés (un dé marqué différemment pour introduire une dépendance) pour que les groupes observent visuellement l’impact sur la variance.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 25 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Espérance additive, variance non ?

Chaque élève reçoit deux variables aléatoires (l'une indépendante, l'autre corrélée à une troisième). Il calcule E et V de la somme. En binôme, ils comparent les résultats et identifient le cas où V(X+Y) diffère de V(X) + V(Y).

Préparation et détails

Sous quelle condition la variance d'une somme est-elle la somme des variances?

Conseil de facilitation: Pendant le Think-Pair-Share, insistez pour que chaque binôme produise une phrase écrite résumant la différence entre espérance et variance avant la mise en commun.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Puzzle

⏱ 40 min·Petits groupes

Puzzle: Applications de la somme de variables aléatoires

Trois groupes d'experts préparent chacun un contexte : jeux de hasard (gain cumulé), assurance (sinistres cumulés), production (temps de fabrication total). Chaque expert rejoint un groupe mixte pour résoudre un problème combinant les trois applications.

Préparation et détails

Comment l'écart-type évolue-t-il quand on cumule des risques?

Conseil de facilitation: Lors du Jigsaw, attribuez à chaque expert un problème différent (économie, biologie, jeux) pour que les élèves voient la transversalité des concepts.

Setup: Aménagement flexible pour faciliter les regroupements successifs

Materials: Dossiers documentaires pour les groupes d'experts, Fiche de prise de notes, Organisateur graphique de synthèse

• Comprendre
• Analyser
• Évaluer
• Compétences relationnelles
• Autogestion

Galerie marchande

⏱ 25 min·Petits groupes

Galerie marchande: L'écart-type cumulé

Quatre stations affichent des situations avec des variables indépendantes et des données numériques. Les groupes circulent, calculent l'écart-type de la somme et notent que sigma(X+Y) n'est pas sigma(X) + sigma(Y). Chaque station exige une interprétation concrète de ce résultat.

Préparation et détails

Pourquoi l'espérance d'une somme est-elle toujours la somme des espérances?

Conseil de facilitation: Au Gallery Walk, affichez les calculs intermédiaires (pas seulement les résultats finaux) pour que les élèves suivent le raisonnement pas à pas.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez par les propriétés accessibles (linéarité de l’espérance) avant d’aborder la variance, car c’est là que les élèves ont le plus de mal à distinguer conditions et résultats. Utilisez des exemples où les variables sont clairement dépendantes (comme des lancers de dés avec une règle modifiant le second lancer) pour ancrer la notion de covariance. Évitez de commencer par des démonstrations formelles : privilégiez la manipulation et l’intuition avant de formaliser.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, les élèves justifient correctement l’usage des formules selon les propriétés des variables (indépendance ou non), interprètent les résultats numériques et corrigent eux-mêmes les erreurs courantes sur la variance et l’écart-type.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Pendant le jeu des deux dés, certains élèves pensent que la variance de la somme est toujours la somme des variances, même avec des dés non indépendants.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant le jeu des deux dés, distribuez des dés dont l’un est marqué avec des nombres pairs et l’autre avec des nombres impairs pour introduire une dépendance. Demandez aux groupes de calculer la variance en utilisant la formule complète (incluant la covariance) et de comparer avec la somme des variances pour constater l’écart.

Idée reçue courante

Lors du Think-Pair-Share, des élèves affirment que l’écart-type de la somme est la somme des écarts-types, même sous indépendance.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Lors du Think-Pair-Share, fournissez aux binômes des données numériques (ex : deux dés équilibrés) et demandez-leur de calculer à la fois sigma(X+Y) et sigma(X)+sigma(Y). Affichez les résultats au tableau pour montrer que sigma(X+Y) est toujours inférieur à sigma(X)+sigma(Y).

Idée reçue courante

Pendant les exercices en binômes, des élèves croient que la linéarité de l’espérance nécessite l’indépendance.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant les exercices en binômes, donnez aux élèves deux variables X et Y clairement dépendantes (ex : X = résultat d’un dé, Y = 7-X) et demandez-leur de calculer E(X+Y) de deux manières : via la formule de l’espérance et en calculant d’abord X+Y. Ils constateront que les résultats coïncident.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Après le jeu des deux dés, présentez deux scénarios au tableau : un avec indépendance, un avec dépendance. Demandez aux élèves d’indiquer pour lequel la variance de la somme est égale à la somme des variances, et de justifier en une phrase.

Question de discussion

Pendant le Think-Pair-Share, lancez la discussion : 'Pourquoi est-il plus simple de calculer l’espérance d’une somme que sa variance ?' Circulez pour guider les échanges vers l’absence de condition pour l’espérance et les conditions strictes pour la variance.

Billet de sortie

Après le Gallery Walk, donnez aux élèves deux variables X et Y avec E(X), V(X), E(Y), V(Y) mais sans indication d’indépendance. Demandez-leur de calculer E(X+Y) et d’expliquer pourquoi V(X+Y) ne peut pas être calculée sans information supplémentaire.

Extensions et étayage

• Challenge : Proposez une somme de trois variables aléatoires avec des dépendances complexes (ex : X, Y dépendantes, Z indépendante) et demandez aux élèves d’exprimer V(X+Y+Z) en fonction des covariances.
• Scaffolding : Pour les élèves en difficulté, fournissez un tableau récapitulatif des formules selon les cas (indépendant/dépendant) à compléter pendant les activités.
• Deeper : Invitez les élèves à créer un mini-projet où ils modélisent une situation réelle (ex : temps d’attente dans une file) avec une somme de variables aléatoires et calculent espérance et variance en justifiant leurs choix.

Vocabulaire clé

Espérance mathématique	Valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire. Elle est toujours égale à la somme des espérances individuelles, même si les variables ne sont pas indépendantes.
Variance	Mesure de la dispersion d'une variable aléatoire autour de son espérance. Elle n'est égale à la somme des variances individuelles que si les variables aléatoires sont indépendantes.
Indépendance	Condition où la réalisation d'un événement n'influence pas la probabilité de réalisation d'un autre événement. Cruciale pour l'additivité de la variance.
Linéarité de l'espérance	Propriété affirmant que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances, quelle que soit leur dépendance.