Mathématiques · Seconde · Géométrie Plane : Vecteurs et Coordonnées · 3e Trimestre

Indicateurs de dispersion : étendue, quartiles

Les élèves calculent l'étendue, les quartiles et l'écart interquartile pour mesurer la dispersion d'une série statistique.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee-STA-03
• EDNAT: Lycee-STA-04

À propos de ce thème

L'étendue, les quartiles et l'écart interquartile mesurent la dispersion d'une série statistique, complétant les indicateurs de position étudiés précédemment. L'étendue (différence entre le maximum et le minimum) est simple mais sensible aux valeurs extrêmes. Les quartiles Q1, Q2 (médiane) et Q3 découpent la série ordonnée en quatre groupes de même effectif, et l'écart interquartile (Q3 - Q1) mesure la concentration des 50 % centraux.

Le programme de l'Éducation nationale demande aux élèves de Seconde de calculer ces indicateurs et de les représenter par un diagramme en boîte (box plot). Ce diagramme synthétise cinq valeurs clés (minimum, Q1, médiane, Q3, maximum) et permet de comparer visuellement la dispersion de plusieurs séries.

Les activités de groupe sont particulièrement efficaces pour ce thème. En comparant les diagrammes en boîte de séries issues de contextes différents (résultats sportifs, météo, notes), les élèves apprennent à lire et interpréter ces représentations, une compétence transférable à de nombreuses disciplines.

Questions clés

1. Comment l'écart interquartile mesure-t-il la cohésion ou la variabilité d'un groupe de données ?
2. Pourquoi l'étendue est-elle un indicateur de dispersion parfois trompeur ?
3. Comment construire et lire un diagramme en boîte pour visualiser la dispersion des données ?

Objectifs d'apprentissage

• Calculer l'étendue, les quartiles (Q1, Q2, Q3) et l'écart interquartile pour des séries statistiques données.
• Comparer la dispersion de deux séries statistiques à l'aide de leur étendue et de leur écart interquartile.
• Expliquer comment l'écart interquartile représente la concentration des 50% centraux d'une série statistique.
• Construire un diagramme en boîte à partir des cinq valeurs caractéristiques (minimum, Q1, médiane, Q3, maximum) d'une série.
• Analyser et interpréter des diagrammes en boîte pour comparer la variabilité de différentes séries de données.

Avant de commencer

Organisation et représentation des données

Pourquoi : Les élèves doivent savoir organiser des données brutes en tableaux et les représenter graphiquement (histogrammes, fréquences) pour pouvoir calculer et interpréter les indicateurs de dispersion.

Calcul de la médiane

Pourquoi : La médiane (Q2) est un quartile essentiel, et sa compréhension est nécessaire pour appréhender les autres quartiles et l'écart interquartile.

Vocabulaire clé

Étendue	Différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série statistique. Elle donne une première idée de la dispersion mais est sensible aux valeurs extrêmes.
Quartiles	Valeurs qui divisent une série statistique ordonnée en quatre parties d'effectifs égaux. Q1 est la valeur séparant les 25% inférieurs, Q2 est la médiane (50%), et Q3 sépare les 75% inférieurs.
Écart interquartile	Différence entre le troisième quartile (Q3) et le premier quartile (Q1). Il mesure la dispersion des 50% centraux de la série et est moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue.
Diagramme en boîte	Représentation graphique synthétisant une série statistique à l'aide de cinq valeurs : minimum, Q1, médiane (Q2), Q3, et maximum. Il permet une visualisation rapide de la dispersion et de la symétrie.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre les quartiles avec les quarts de l'étendue.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les quartiles divisent l'effectif en quarts, pas l'intervalle des valeurs. Avec une série asymétrique, Q1 n'est pas nécessairement au quart de l'étendue. Un exercice de calcul sur une série très asymétrique rend cette distinction claire.

Idée reçue courante

Penser que l'étendue suffit à mesurer la dispersion d'une série.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'étendue ne dépend que de deux valeurs (min et max) et peut être trompeuse si une seule valeur est extrême. En ajoutant une valeur aberrante et en recalculant en groupe, les élèves constatent que l'écart interquartile reste stable tandis que l'étendue explose.

Idée reçue courante

Ne pas savoir comment placer les quartiles quand l'effectif n'est pas un multiple de 4.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La méthode des médianes des sous-séries fonctionne quel que soit l'effectif. Un exercice guidé avec des effectifs variés (pair, impair, petit, grand) installe la procédure correcte par la pratique répétée.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Construire un diagramme en boîte

Chaque groupe reçoit une série de données brutes (20-30 valeurs). Ils ordonnent la série, calculent les quartiles et l'écart interquartile, puis construisent le diagramme en boîte sur papier millimétré. Les groupes comparent leurs diagrammes et discutent des différences de dispersion.

35 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Étendue vs écart interquartile

Chaque élève calcule l'étendue et l'écart interquartile d'une série contenant une valeur extrême. En binôme, ils comparent les deux mesures et expliquent pourquoi l'écart interquartile est plus fiable dans ce cas. La mise en commun formalise la notion de robustesse.

20 min·Binômes

Galerie marchande: Lecture de diagrammes en boîte

Des posters affichent des paires de diagrammes en boîte (par exemple, notes de deux classes ou températures de deux villes). Les élèves circulent et rédigent une phrase de comparaison pour chaque paire, en utilisant le vocabulaire de la dispersion.

25 min·Classe entière

Rotation par ateliers: Indicateurs de dispersion

Station 1 : calculer étendue et quartiles d'une série en vrac. Station 2 : construire un diagramme en boîte à partir de quartiles donnés. Station 3 : comparer deux séries par leurs diagrammes. Station 4 : identifier la série la plus dispersée à partir de paramètres numériques.

40 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Les météorologues utilisent l'écart interquartile pour décrire la variabilité des températures mensuelles à Paris, aidant à comprendre si un mois est typiquement chaud, froid ou variable.
• Les statisticiens sportifs analysent les écarts interquartiles des temps de course des athlètes pour évaluer la régularité de leurs performances sur une saison, par exemple pour les coureurs du Tour de France.
• Les économistes peuvent comparer la dispersion des salaires dans différents secteurs d'activité en France en utilisant des diagrammes en boîte, identifiant ainsi les professions où les revenus sont les plus homogènes ou les plus hétérogènes.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Donnez aux élèves une série de 10 notes d'élèves. Demandez-leur de calculer l'étendue, Q1, Q3 et l'écart interquartile. Vérifiez leurs calculs individuellement ou en petits groupes.

Billet de sortie

Présentez deux diagrammes en boîte comparant les tailles d'arbres dans deux forêts différentes. Demandez aux élèves : 'Quelle forêt présente la plus grande variabilité de tailles d'arbres et pourquoi ?' 'Quelle est la médiane des tailles dans chaque forêt ?'

Question de discussion

Posez la question : 'Pourquoi l'étendue peut-elle parfois donner une image faussée de la dispersion d'une série ?' Encouragez les élèves à utiliser des exemples concrets pour illustrer leurs réponses et à comparer avec l'utilité de l'écart interquartile.

Questions fréquentes

Comment calculer les quartiles d'une série statistique ?

On ordonne la série par ordre croissant. Q2 est la médiane. Q1 est la médiane de la moitié inférieure (les valeurs en dessous de Q2). Q3 est la médiane de la moitié supérieure. L'écart interquartile est Q3 - Q1 et mesure la dispersion des 50 % centraux de la série.

Pourquoi l'étendue est-elle un indicateur de dispersion parfois trompeur ?

L'étendue ne dépend que du minimum et du maximum. Une seule valeur extrême peut la rendre très grande alors que la majorité des données est regroupée. L'écart interquartile, qui ignore les 25 % les plus extrêmes de chaque côté, donne une mesure de dispersion plus robuste.

Comment lire et interpréter un diagramme en boîte ?

La boîte s'étend de Q1 à Q3 et contient 50 % des données. Le trait intérieur marque la médiane. Les moustaches vont du minimum au maximum. Une boîte courte indique des données concentrées. Une boîte large ou des moustaches longues signalent une forte dispersion.

Comment l'apprentissage actif aide-t-il à comprendre la dispersion statistique ?

En construisant eux-mêmes les diagrammes en boîte et en comparant visuellement les séries, les élèves développent une intuition de la dispersion que les calculs seuls ne fournissent pas. Le débat en groupe sur l'interprétation des graphiques renforce la rigueur du vocabulaire statistique.