Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Ce théorème repose sur une intuition visuelle simple : une fonction continue ne saute pas d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Les activités proposées transforment cette intuition en raisonnement structuré, en rendant les élèves acteurs de la construction de la preuve par l’expérimentation et la manipulation.

• Première
• Analyse, Fonctions et Modélisation Mathématique
• 4 activités
• 20 min–30 min

Objectifs d’apprentissage

1. Démontrer l'existence d'une racine d'une équation continue sur un intervalle donné en utilisant le TVI.
2. Analyser les conditions nécessaires à l'application du TVI pour une fonction donnée.
3. Comparer l'efficacité de la méthode de dichotomie et de l'application directe du TVI pour localiser une racine.
4. Expliquer pourquoi la continuité est une condition indispensable à l'application du TVI.
5. Calculer les bornes d'un intervalle d'encadrement d'une solution à l'aide du TVI et de la méthode de dichotomie.

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Conditions d application du TVI

Chaque élève reçoit six fonctions (continues et discontinues) avec un intervalle donné. Individuellement, il détermine si le TVI est applicable et justifie sa réponse. En binôme, les élèves comparent leurs conclusions et identifient les cas litigieux, puis partagent avec la classe.

Préparation et détails

Comment le TVI garantit-il l'existence d'une solution sans la calculer explicitement ?

Conseil de facilitation: Lors de l’activité tableur, vérifiez que chaque binôme a bien paramétré les formules avant de lancer les calculs pour éviter les erreurs de recopie.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Séminaire socratique

⏱ 25 min·Petits groupes

Atelier pratique : Dichotomie à la main

Par groupes de trois, les élèves appliquent la méthode de dichotomie pour encadrer une racine de f(x) = x^3 - 2x - 5 sur [2, 3] avec une précision de 0,1. Chaque membre du groupe tient un rôle : calculateur, vérificateur de signe, secrétaire qui note les intervalles successifs. Le groupe présente ensuite son encadrement final.

Préparation et détails

Dans quelles conditions le TVI est-il applicable ?

Setup: Chaises disposées en deux cercles concentriques

Materials: Question de départ ou problématique (projetée), Grille d'observation pour le cercle extérieur

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Conscience sociale
• Compétences relationnelles

Galerie marchande

⏱ 20 min·Petits groupes

Galerie marchande: Contre-exemples et pièges

Quatre affiches sont disposées dans la salle, chacune présentant une situation où un élève fictif applique le TVI de manière incorrecte (fonction discontinue, mauvais intervalle, conclusion erronée sur l unicité). Les groupes tournent, identifient l erreur sur chaque affiche et proposent une correction argumentée.

Préparation et détails

Comment le TVI est-il utilisé dans la méthode de dichotomie pour approcher une racine ?

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Séminaire socratique

⏱ 30 min·Individuel

Activité tableur : Visualisation et encadrement

Individuellement, les élèves programment un tableur qui calcule f(x) pour des subdivisions de plus en plus fines d un intervalle. Ils observent le changement de signe et en déduisent un encadrement de la racine. Cette activité relie le TVI à son application numérique concrète.

Préparation et détails

Comment le TVI garantit-il l'existence d'une solution sans la calculer explicitement ?

Setup: Chaises disposées en deux cercles concentriques

Materials: Question de départ ou problématique (projetée), Grille d'observation pour le cercle extérieur

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Conscience sociale
• Compétences relationnelles

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples concrets où les élèves tracent des courbes sur papier millimétré pour sentir la continuité. Évitez d’entrer directement dans la formalisation : privilégiez d’abord l’intuition géométrique avant de passer aux définitions rigoureuses. La méthode de dichotomie fonctionne bien comme outil de validation, car elle matérialise le théorème en action avec des calculs accessibles.

À quoi s’attendre

Les élèves distinguent clairement les hypothèses du TVI, identifient les conditions d’application et utilisent la méthode de dichotomie pour approcher une solution. Ils repèrent aussi les pièges classiques en analysant des contre-exemples et en justifiant leurs choix avec des arguments mathématiques précis.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During l’atelier pratique de Dichotomie à la main, certains élèves pensent que la méthode donne la solution exacte dès la première itération.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant cet atelier, insistez sur le fait que chaque étape affiche un encadrement de plus en plus précis, mais jamais la valeur exacte. Utilisez un chronomètre pour mesurer le temps nécessaire à la convergence après 5 itérations, afin de montrer que la précision augmente sans jamais atteindre zéro.

Idée reçue courante

During l’activité Think-Pair-Share sur les conditions d’application du TVI, des élèves affirment que si f(a) et f(b) sont de même signe, la fonction ne peut pas s’annuler sur [a, b].

Ce qu'il faut enseigner à la place

Lors de cette activité, présentez des exemples graphiques variés (comme f(x) = x² - 2 sur [-2, 2]) où la fonction s’annule deux fois malgré des signes identiques en -2 et 2. Demandez aux binômes de justifier pourquoi le TVI ne s’applique pas, mais où la fonction a tout de même des racines.

Idée reçue courante

During le Gallery Walk sur les contre-exemples, certains élèves pensent que le TVI s’applique à toute fonction, même discontinue.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant ce Gallery Walk, placez un exemple de fonction avec un saut (comme f(x) = 1/x sur [-1, 1]) en insistant sur le fait que la continuité est une hypothèse indispensable. Demandez aux élèves de tracer la courbe et de repérer où le TVI échoue, puis de réécrire les hypothèses du théorème.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After l’activité tableur (Visualisation et encadrement), présentez la fonction f(x) = x³ - 2x - 2 sur [1, 3]. Demandez aux élèves de vérifier les conditions du TVI, puis d’utiliser le tableur pour trouver un encadrement de la solution à 0,1 près. Collectez leurs fichiers pour vérifier la rigueur des calculs.

Question de discussion

During l’atelier pratique de Dichotomie à la main, demandez aux élèves : 'Pourquoi est-il crucial que la fonction soit continue pour appliquer le TVI ?' Puis invitez-les à proposer des exemples de fonctions non continues sur un intervalle où f(a) et f(b) ont des signes opposés, mais qui n’ont pas de racine dans cet intervalle. Utilisez leurs réponses pour animer un débat collectif.

Billet de sortie

After l’activité Think-Pair-Share sur les conditions d’application du TVI, donnez aux élèves la fonction f(x) = sin(x) - 0,5 et l’intervalle [0, π]. Demandez-leur d’écrire deux phrases : la première expliquant comment ils vérifieraient l’applicabilité du TVI, et la seconde décrivant comment ils utiliseraient la méthode de dichotomie pour trouver un encadrement de la solution à 0,1 près.

Extensions et étayage

• Proposez aux élèves de trouver un intervalle [a, b] plus petit que [1, 2] pour f(x) = x³ - x - 1 où l’application du TVI est immédiate, puis de comparer leurs résultats.
• Si un élève confond continuité et dérivabilité, demandez-lui de dessiner une fonction continue non dérivable (comme la fonction valeur absolue) et d’expliquer pourquoi le TVI s’applique.
• Explorez avec les élèves la généralisation du TVI aux fonctions non continues en étudiant le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions monotones sur un intervalle.

Vocabulaire clé

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)	Ce théorème stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b] et que k est un nombre réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un nombre c dans [a, b] tel que f(c) = k.
Continuité	Une fonction est continue sur un intervalle si sa représentation graphique peut être tracée sans lever le crayon. Formellement, une fonction f est continue en un point a si la limite de f(x) quand x tend vers a existe et est égale à f(a).
Intervalle d'encadrement	Un intervalle [a, b] tel que l'on sait qu'une solution d'une équation f(x) = 0 se trouve à l'intérieur de cet intervalle.
Méthode de dichotomie	Une méthode algorithmique qui consiste à réduire successivement un intervalle d'encadrement d'une solution en calculant la valeur de la fonction au milieu de l'intervalle et en choisissant le sous-intervalle approprié.