Le Nombre Dérivé et la Tangente

Ce chapitre demande aux élèves de passer d'une vision statique des fonctions à une approche dynamique et locale. L'activité concrète permet de concrétiser l'idée abstraite de limite et de tangente. Les manipulations graphiques et numériques rendent ce concept accessible avant d'aborder les calculs formels.

• Première
• Analyse, Fonctions et Modélisation Mathématique
• 4 activités
• 20 min–35 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point donné à partir de la définition par le taux d'accroissement.
2. Expliquer la relation entre la limite du taux d'accroissement et la pente de la tangente à une courbe représentative.
3. Identifier graphiquement le nombre dérivé comme la pente de la droite tangente à une courbe en un point.
4. Comparer la variation instantanée d'une fonction (représentée par la dérivée) à sa variation moyenne sur un intervalle.

Galerie marchande

⏱ 30 min·Binômes

Investigation guidée : De la sécante à la tangente

Sur GeoGebra, les élèves tracent des sécantes passant par un point fixe A et un point mobile B. En rapprochant B de A, ils observent la sécante se stabiliser vers la tangente. Ils notent les pentes successives et conjecturent la limite.

Préparation et détails

Comment une sécante devient-elle une tangente lorsque l'intervalle tend vers zéro ?

Conseil de facilitation: Pendant le débat structuré (activité 4), notez les arguments des élèves sur des post-it pour faire émerger les critères de dérivabilité après leur présentation.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Galerie marchande

⏱ 35 min·Petits groupes

Galerie marchande: Vitesse moyenne vs vitesse instantanée

Six affiches présentent des graphiques position-temps. Les groupes calculent la vitesse moyenne sur des intervalles de plus en plus petits, tracent les sécantes correspondantes, et formulent la vitesse instantanée comme limite. Chaque affiche correspond à un mouvement différent (linéaire, accéléré, décéléré).

Préparation et détails

Pourquoi la pente de la tangente représente-t-elle la vitesse instantanée d'un processus ?

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Penser-Partager-Présenter

⏱ 25 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Calculer un nombre dérivé par la définition

Chaque élève calcule f'(a) pour une fonction simple (x², 1/x, √x) en passant par la limite du taux d'accroissement. En binôme, ils comparent leurs calculs et identifient les simplifications algébriques nécessaires avant le passage à la limite.

Préparation et détails

Quelles sont les limites de l'approximation linéaire au voisinage d'un point ?

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Galerie marchande

⏱ 20 min·Classe entière

Débat structuré : Peut-on toujours dériver ?

L'enseignant présente le graphique de la fonction valeur absolue au point 0. Les élèves débattent : existe-t-il une tangente unique ? Deux camps argumentent, l'un avec la limite à gauche, l'autre avec la limite à droite. Le professeur formalise la notion de non-dérivabilité.

Préparation et détails

Comment une sécante devient-elle une tangente lorsque l'intervalle tend vers zéro ?

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez par la dimension géométrique avec un logiciel de géométrie dynamique pour visualiser l'évolution de la sécante. Évitez de donner trop tôt la formule du nombre dérivé. Privilégiez les exemples où la fonction est définie par morceaux pour aborder naturellement les points de non-dérivation. L'approche numérique (avec des valeurs décroissantes de h) prépare mieux à la limite que l'approche purement algébrique.

À quoi s’attendre

Les élèves maîtrisent l'interprétation géométrique et numérique du nombre dérivé. Ils peuvent expliquer pourquoi la tangente est une meilleure approximation locale que la sécante, et calculent correctement des taux d'accroissement pour des valeurs décroissantes de h. La discussion sur les points de non-dérivation montre une compréhension nuancée du concept.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Pendant l'activité 1 (Investigation guidée : De la sécante à la tangente), watch for students who believe the tangent never intersects the curve except at the point of tangency.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Utilisez GeoGebra pour tracer une courbe (par exemple, f(x) = x³ - x) et sa tangente en x = 1. Faites observer que la tangente traverse la courbe en plusieurs points et demandez aux élèves de tracer d'autres exemples pour vérifier cette propriété.

Idée reçue courante

Pendant l'activité 3 (Think-Pair-Share : Calculer un nombre dérivé par la définition), watch for students who confuse the rate of change with the derivative.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez aux binômes de calculer le taux d'accroissement pour h = 1, 0.1, 0.01 et 0.001 sur une fonction simple comme f(x) = x² en a = 2. Faites noter la convergence vers une valeur unique et comparez avec la valeur théorique de f'(2).

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Après l'activité 2 (Gallery Walk : Vitesse moyenne vs vitesse instantanée), demandez aux élèves de rédiger un paragraphe expliquant comment le passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée illustre le concept de nombre dérivé, en utilisant les mots 'taux d'accroissement' et 'limite'.

Vérification rapide

Pendant l'activité 3 (Think-Pair-Share : Calculer un nombre dérivé par la définition), circulez entre les binômes et vérifiez que les élèves simplifient correctement [f(a+h) - f(a)] / h avant de substituer h. Demandez-leur d'expliquer chaque étape de simplification pour évaluer leur compréhension de l'algébrisation.

Question de discussion

Pendant l'activité 4 (Débat structuré : Peut-on toujours dériver ?), observez si les élèves citent des exemples concrets de points de non-dérivation (cornes, rebroussements) et s'ils justifient leur réponse en utilisant la définition du nombre dérivé comme limite. Utilisez leurs arguments pour évaluer leur compréhension de la dérivabilité.

Extensions et étayage

• Demandez aux élèves rapides de généraliser leur méthode de simplification pour calculer f'(x) en tout point pour f(x) = x³, puis de vérifier leur résultat avec la formule connue.
• Pour les élèves en difficulté, proposez un tableau à compléter avec des valeurs de h décroissantes (1, 0.5, 0.1, 0.01) pour observer la convergence du taux d'accroissement.
• Approfondissez en demandant aux élèves d'explorer graphiquement le lien entre le signe de f' et les variations de f, avec des exemples de fonctions polynomiales de degré 2 et 3.

Vocabulaire clé

Taux d'accroissement	Le rapport [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1), représentant la pente de la droite sécante entre deux points de la courbe d'une fonction.
Nombre dérivé	La limite du taux d'accroissement d'une fonction en un point lorsque l'intervalle tend vers zéro. Il représente la pente de la tangente en ce point.
Tangente	La droite qui 'touche' une courbe en un point et qui, localement, a la même direction que la courbe en ce point. Sa pente est égale au nombre dérivé.
Limite	La valeur vers laquelle tend une fonction ou une suite lorsque la variable s'approche d'une certaine valeur, sans nécessairement l'atteindre.