Analyse et Dérivation · 1er Trimestre

Le Nombre Dérivé et la Tangente

Les élèves définissent le nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement et interprètent graphiquement.

À propos de ce thème

Le nombre dérivé est l'un des concepts fondateurs de l'analyse en Première. Il se définit comme la limite du taux d'accroissement [f(a+h) - f(a)] / h quand h tend vers 0, et s'interprète comme la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Cette double lecture, algébrique et géométrique, constitue le coeur du chapitre.

L'introduction du nombre dérivé est aussi l'occasion de relier les mathématiques à la physique : la dérivée d'une fonction position donne la vitesse instantanée, celle d'une quantité de matière donne la vitesse de réaction. Ces connexions interdisciplinaires donnent du sens au formalisme.

Les approches actives sont essentielles ici car le passage à la limite est un concept abstrait. Tracer des sécantes qui se rapprochent d'une tangente sur GeoGebra, mesurer des pentes en binôme, ou comparer des taux d'accroissement pour des intervalles de plus en plus petits construit l'intuition du processus limite de manière progressive et concrète.

Objectifs d'apprentissage

• Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point donné à partir de la définition par le taux d'accroissement.
• Expliquer la relation entre la limite du taux d'accroissement et la pente de la tangente à une courbe représentative.
• Identifier graphiquement le nombre dérivé comme la pente de la droite tangente à une courbe en un point.
• Comparer la variation instantanée d'une fonction (représentée par la dérivée) à sa variation moyenne sur un intervalle.

Avant de commencer

Représentation graphique de fonctions

Pourquoi : Les élèves doivent être capables de lire et d'interpréter des graphiques de fonctions pour visualiser les sécantes et les tangentes.

Calcul algébrique de base

Pourquoi : La manipulation des expressions du taux d'accroissement et la simplification algébrique sont nécessaires pour le calcul du nombre dérivé.

Notion de limite (introduction)

Pourquoi : Une compréhension intuitive de ce qu'est une limite est utile pour appréhender la définition formelle du nombre dérivé.

Vocabulaire clé

Taux d'accroissement	Le rapport [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1), représentant la pente de la droite sécante entre deux points de la courbe d'une fonction.
Nombre dérivé	La limite du taux d'accroissement d'une fonction en un point lorsque l'intervalle tend vers zéro. Il représente la pente de la tangente en ce point.
Tangente	La droite qui 'touche' une courbe en un point et qui, localement, a la même direction que la courbe en ce point. Sa pente est égale au nombre dérivé.
Limite	La valeur vers laquelle tend une fonction ou une suite lorsque la variable s'approche d'une certaine valeur, sans nécessairement l'atteindre.

Idées d'apprentissage actif

Investigation guidée : De la sécante à la tangente

Sur GeoGebra, les élèves tracent des sécantes passant par un point fixe A et un point mobile B. En rapprochant B de A, ils observent la sécante se stabiliser vers la tangente. Ils notent les pentes successives et conjecturent la limite.

⏱ 30 min·Binômes

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Galerie marchande: Vitesse moyenne vs vitesse instantanée

Six affiches présentent des graphiques position-temps. Les groupes calculent la vitesse moyenne sur des intervalles de plus en plus petits, tracent les sécantes correspondantes, et formulent la vitesse instantanée comme limite. Chaque affiche correspond à un mouvement différent (linéaire, accéléré, décéléré).

⏱ 35 min·Petits groupes

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Penser-Partager-Présenter: Calculer un nombre dérivé par la définition

Chaque élève calcule f'(a) pour une fonction simple (x², 1/x, √x) en passant par la limite du taux d'accroissement. En binôme, ils comparent leurs calculs et identifient les simplifications algébriques nécessaires avant le passage à la limite.

⏱ 25 min·Binômes

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Débat structuré : Peut-on toujours dériver ?

L'enseignant présente le graphique de la fonction valeur absolue au point 0. Les élèves débattent : existe-t-il une tangente unique ? Deux camps argumentent, l'un avec la limite à gauche, l'autre avec la limite à droite. Le professeur formalise la notion de non-dérivabilité.

⏱ 20 min·Classe entière

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Liens avec le monde réel

Les ingénieurs civils utilisent le concept de dérivée pour calculer la pente exacte d'une route ou d'une rampe d'accès, assurant ainsi la sécurité et le respect des normes, par exemple lors de la conception d'une bretelle d'autoroute près de Lyon.

Les économistes modélisent la croissance ou la décroissance d'un marché financier. La dérivée d'une fonction de prix donne la vitesse instantanée de variation, aidant à prédire les tendances à court terme pour des produits comme les actions de TotalEnergies.

Les biologistes étudiant la propagation d'une épidémie peuvent utiliser la dérivée pour quantifier la vitesse instantanée d'augmentation du nombre de cas, comme lors de l'analyse des premières données de la grippe saisonnière dans une région.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre la tangente avec une droite qui touche la courbe en un seul point.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La tangente peut couper la courbe en d'autres points. Sa caractéristique est d'être la meilleure approximation linéaire au voisinage du point de tangence. Un contre-exemple graphique sur GeoGebra (tangente à un polynôme de degré 3 qui recoupe la courbe) clarifie cette distinction en groupe.

Idée reçue courante

Croire que le taux d'accroissement et le nombre dérivé sont la même chose.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Le taux d'accroissement est défini sur un intervalle (c'est une pente de sécante), tandis que le nombre dérivé est la limite de ce taux quand l'intervalle se réduit à un point. Une activité en binôme où l'on compare les valeurs numériques pour h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 montre la convergence progressive.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves le graphique d'une fonction avec une tangente tracée en un point. Demandez-leur : 1. Estimez la pente de la tangente sur ce graphique. 2. Expliquez en une phrase comment le taux d'accroissement de la fonction sur un petit intervalle autour du point se rapproche de cette pente.

Vérification rapide

Présentez une fonction simple, par exemple f(x) = x², et un point a. Demandez aux élèves de calculer le taux d'accroissement [f(a+h) - f(a)] / h pour une petite valeur de h (ex: h=0.1). Ensuite, demandez-leur de calculer ce taux pour h=0.01 et de comparer les résultats.

Question de discussion

Posez la question : 'Comment une sécante peut-elle devenir une tangente lorsque l'intervalle tend vers zéro ?' Invitez les élèves à utiliser le vocabulaire 'taux d'accroissement', 'limite' et 'pente' pour décrire le processus géométriquement et algébriquement.

Questions fréquentes

Comment calculer le nombre dérivé en un point ?

On calcule la limite de [f(a+h) - f(a)] / h quand h tend vers 0. Concrètement, on développe f(a+h), on soustrait f(a), on divise par h, on simplifie (le h du dénominateur doit se simplifier), puis on fait tendre h vers 0 dans l'expression restante.

Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé f'(a) est un réel : c'est la pente de la tangente en un point précis. La fonction dérivée f' associe à chaque x la valeur f'(x), c'est une fonction entière. Le nombre dérivé est une valeur ponctuelle de la fonction dérivée.

Pourquoi la dérivée donne-t-elle la vitesse instantanée ?

Si f(t) est la position à l'instant t, le taux d'accroissement [f(t+h) - f(t)] / h est la vitesse moyenne sur [t, t+h]. Quand h tend vers 0, cette moyenne converge vers la vitesse à l'instant précis t. C'est exactement la définition du nombre dérivé f'(t).

Comment enseigner le nombre dérivé avec des méthodes actives ?

L'investigation sur GeoGebra où les élèves rapprochent une sécante d'une tangente construit l'intuition du passage à la limite. Les Galerie marchandes reliant pente et vitesse donnent du sens physique. Le débat sur la non-dérivabilité de |x| en 0 développe la pensée critique sur les limites de la notion.