Mathématiques · 5ème · Nombres et Calculs : La Maîtrise des Opérations · 1er Trimestre

Multiplication et Division de Fractions

Les élèves apprennent à multiplier et diviser des fractions, en comprenant la notion d'inverse.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Nombres et calculs
• MEN: Cycle 4 - Calculer avec des fractions

À propos de ce thème

La multiplication de fractions est, paradoxalement, plus simple que l'addition : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pas besoin de dénominateur commun. La division, elle, se transforme en multiplication par l'inverse. Ces deux opérations complètent la maîtrise du calcul fractionnaire en 5ème.

L'enjeu pédagogique est double. D'abord, comprendre que multiplier par une fraction inférieure à 1 donne un résultat plus petit que le nombre de départ, ce qui bouscule l'intuition. Ensuite, maîtriser la notion d'inverse (le nombre qui, multiplié par le nombre de départ, donne 1). Les problèmes de partage et de proportion sont les meilleurs vecteurs de sens. Les activités de groupe où les élèves découpent physiquement « la moitié d'un tiers » font comprendre le mécanisme mieux que toute explication.

Questions clés

1. Pourquoi la multiplication de fractions est-elle plus directe que l'addition ?
2. Comment la division par une fraction peut-elle être transformée en multiplication ?
3. Comment appliquer les opérations sur les fractions pour résoudre des problèmes de partage ou de proportion ?

Objectifs d'apprentissage

• Calculer le produit de deux fractions en appliquant la règle de multiplication des numérateurs et des dénominateurs.
• Expliquer la notion d'inverse d'une fraction et l'utiliser pour transformer une division en multiplication.
• Démontrer la division de deux fractions en multipliant la première par l'inverse de la seconde.
• Résoudre des problèmes concrets impliquant la multiplication et la division de fractions, tels que des partages ou des calculs de proportion.
• Comparer le résultat de la multiplication d'une fraction par une autre fraction inférieure à 1 avec le nombre initial.

Avant de commencer

Simplification de fractions

Pourquoi : Les élèves doivent être capables de simplifier des fractions pour obtenir des résultats finaux sous forme irréductible.

Addition et Soustraction de fractions

Pourquoi : Une compréhension de base des fractions et de leurs dénominateurs est nécessaire avant d'aborder la multiplication et la division.

Représentation de fractions

Pourquoi : La visualisation de fractions, par des schémas ou des objets, aide à comprendre le sens de la multiplication (partie d'une partie) et de la division.

Vocabulaire clé

Numérateur	Le nombre situé au-dessus de la barre de fraction, représentant combien de parties d'une unité sont prises.
Dénominateur	Le nombre situé sous la barre de fraction, indiquant en combien de parties égales l'unité est divisée.
Inverse d'une fraction	Le nombre qui, multiplié par la fraction d'origine, donne 1. Il s'obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur.
Produit de fractions	Le résultat obtenu en multipliant deux fractions ; on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Quotient de fractions	Le résultat obtenu en divisant deux fractions ; cela revient à multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Appliquer la règle de l'addition (chercher un dénominateur commun) à la multiplication.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'élève qui vient de maîtriser l'addition applique la même procédure partout. Il faut montrer que la multiplication a sa propre logique, plus directe : numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur.

Idée reçue courante

Penser que multiplier donne toujours un résultat plus grand.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Le modèle de « la fraction d'une fraction » (prendre la moitié d'un tiers) montre concrètement que le résultat diminue quand on multiplie par un nombre inférieur à 1.

Idée reçue courante

Oublier d'inverser la deuxième fraction lors de la division.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'élève effectue une multiplication classique au lieu d'inverser le diviseur. La formulation « diviser par une fraction, c'est multiplier par son retourné » aide à mémoriser l'étape.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: La fraction d'une fraction

Les élèves dessinent un rectangle, colorient 1/3 de sa surface, puis prennent 1/2 de la partie coloriée. Ils constatent visuellement que le résultat est 1/6 du rectangle total, illustrant 1/2 x 1/3 = 1/6.

25 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Plus grand ou plus petit ?

Le professeur affiche des multiplications de fractions. Avant de calculer, les élèves prédisent si le résultat sera plus grand ou plus petit que chaque facteur, puis vérifient par le calcul.

15 min·Binômes

Jeu de simulation: Le partage de pizza

Problème concret : « Il reste 3/4 d'une pizza et 5 personnes se la partagent. » Les élèves modélisent la division 3/4 divisé par 5 avec un dessin, puis vérifient par la multiplication par l'inverse.

30 min·Petits groupes

Enseignement par les pairs: L'inverse, c'est quoi ?

En binôme, un élève explique la notion d'inverse avec des exemples (l'inverse de 3/4 est 4/3, car 3/4 x 4/3 = 1). Son partenaire vérifie avec d'autres fractions et pose des cas pièges (l'inverse de 1 ? de 0 ?).

20 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• En cuisine, pour ajuster une recette : si une recette pour 4 personnes demande 2/3 d'une tasse de farine et que l'on souhaite préparer la recette pour seulement 2 personnes (la moitié), on calcule (1/2) * (2/3) de tasse.
• Dans le domaine de la menuiserie ou du bricolage, pour découper des matériaux : si l'on doit couper une planche de 3/4 de mètre en sections de 1/8 de mètre, on divise 3/4 par 1/8 pour trouver le nombre de sections possibles.
• Pour calculer des surfaces ou des volumes dans des projets d'architecture ou de décoration intérieure : déterminer quelle fraction d'une surface totale représente une pièce dont les dimensions sont exprimées en fractions de la longueur ou largeur totale.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présenter aux élèves deux calculs : 1) 1/2 * 3/4 et 2) 1/2 : 3/4. Demander d'écrire le résultat de chaque calcul et d'expliquer en une phrase la différence de méthode utilisée pour chaque opération.

Billet de sortie

Donner aux élèves un problème : 'Un pâtissier a 5/6 d'une tablette de chocolat. Il souhaite faire des petits sachets contenant chacun 1/12 de tablette. Combien de sachets peut-il faire ?' Les élèves doivent écrire le calcul et la réponse.

Question de discussion

Poser la question : 'Pourquoi multiplier une fraction par 1/2 donne-t-il un résultat plus petit que la fraction de départ, alors que multiplier par 2 donne un résultat plus grand ?' Guider la discussion vers la notion de 'partager' ou 'prendre une partie de'.

Questions fréquentes

Pourquoi la multiplication de fractions est-elle plus simple que l'addition ?

Parce qu'elle ne nécessite pas de dénominateur commun. On multiplie directement numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur. La structure est plus régulière.

Comment diviser par une fraction ?

On remplace la division par une multiplication par l'inverse de la fraction. Diviser par 2/3 revient à multiplier par 3/2. Le résultat est plus grand, ce qui correspond à l'idée de « combien de fois 2/3 entre dans le nombre ».

Qu'est-ce que l'inverse d'une fraction ?

C'est la fraction obtenue en échangeant le numérateur et le dénominateur. L'inverse de 3/5 est 5/3. Leur produit vaut toujours 1. Attention : 0 n'a pas d'inverse.

Comment le découpage visuel de rectangles aide-t-il à comprendre la multiplication de fractions ?

En coloriant 1/3 d'un rectangle puis en prenant 1/2 de cette partie, l'élève compte les petites cases et découvre le résultat 1/6 par lui-même. Le passage de la manipulation au calcul est alors naturel et compris en profondeur.