Multiplication et Division de Fractions

Les élèves de 5ème abordent souvent la multiplication et la division de fractions avec des règles mécaniques déjà connues pour l’addition. Cette confusion s’explique par leur difficulté à distinguer les procédures selon les opérations. Travailler par investigation collaborative ou simulation les aide à ancrer le sens derrière les calculs, ce qui réduit les erreurs de transfert.

• 5ème
• Mathématiques 5ème : Vers l\\
• 4 activités
• 15 min–30 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer le produit de deux fractions en appliquant la règle de multiplication des numérateurs et des dénominateurs.
2. Expliquer la notion d'inverse d'une fraction et l'utiliser pour transformer une division en multiplication.
3. Démontrer la division de deux fractions en multipliant la première par l'inverse de la seconde.
4. Résoudre des problèmes concrets impliquant la multiplication et la division de fractions, tels que des partages ou des calculs de proportion.
5. Comparer le résultat de la multiplication d'une fraction par une autre fraction inférieure à 1 avec le nombre initial.

Cercle de recherche

⏱ 25 min·Petits groupes

Cercle de recherche: La fraction d'une fraction

Les élèves dessinent un rectangle, colorient 1/3 de sa surface, puis prennent 1/2 de la partie coloriée. Ils constatent visuellement que le résultat est 1/6 du rectangle total, illustrant 1/2 x 1/3 = 1/6.

Préparation et détails

Pourquoi la multiplication de fractions est-elle plus directe que l'addition ?

Conseil de facilitation: Pendant l’activité 'La fraction d'une fraction', insistez sur le fait que les élèves dessinent chaque étape pour visualiser le processus avant de passer aux calculs numériques.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 15 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Plus grand ou plus petit ?

Le professeur affiche des multiplications de fractions. Avant de calculer, les élèves prédisent si le résultat sera plus grand ou plus petit que chaque facteur, puis vérifient par le calcul.

Préparation et détails

Comment la division par une fraction peut-elle être transformée en multiplication ?

Conseil de facilitation: Lors du 'Think-Pair-Share', demandez aux élèves de comparer leurs réponses en utilisant des fractions inférieures et supérieures à 1 pour clarifier la différence entre multiplication et division.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Jeu de simulation

⏱ 30 min·Petits groupes

Jeu de simulation: Le partage de pizza

Problème concret : « Il reste 3/4 d'une pizza et 5 personnes se la partagent. » Les élèves modélisent la division 3/4 divisé par 5 avec un dessin, puis vérifient par la multiplication par l'inverse.

Préparation et détails

Comment appliquer les opérations sur les fractions pour résoudre des problèmes de partage ou de proportion ?

Conseil de facilitation: Dans la simulation 'Le partage de pizza', fournissez des pizzas en papier à découper pour que les élèves manipulent physiquement les fractions et voient le résultat de leur division.

Setup: Espace modulable avec différents îlots de travail

Materials: Fiches de rôle avec objectifs et ressources, Monnaie fictive ou jetons de jeu, Tableau de suivi des tours

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Conscience sociale
• Prise de décision

Enseignement par les pairs

⏱ 20 min·Binômes

Enseignement par les pairs: L'inverse, c'est quoi ?

En binôme, un élève explique la notion d'inverse avec des exemples (l'inverse de 3/4 est 4/3, car 3/4 x 4/3 = 1). Son partenaire vérifie avec d'autres fractions et pose des cas pièges (l'inverse de 1 ? de 0 ?).

Préparation et détails

Pourquoi la multiplication de fractions est-elle plus directe que l'addition ?

Conseil de facilitation: Lors de l’activité 'L'inverse, c'est quoi ?', utilisez des cartes avec des fractions écrites en toutes lettres pour éviter que les élèves mélangent les étapes de l’inversion.

Setup: Espace de présentation face à la classe ou plusieurs îlots d'enseignement

Materials: Fiches d'attribution des sujets, Canevas de préparation de séance, Grille d'évaluation par les pairs, Matériel pour supports visuels

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Enseigner ce sujet

Commencez par renforcer le sens des fractions comme des parties d’un tout avant d’introduire les opérations. Évitez de donner la règle trop tôt ; privilégiez des exemples concrets comme partager une pizza ou mesurer des ingrédients. Les recherches montrent que les élèves retiennent mieux quand ils construisent eux-mêmes la règle à partir de situations réelles. Enfin, insistez sur le langage : utilisez 'prendre une partie de' pour la multiplication et 'partager en' pour la division pour ancrer la distinction.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, les élèves doivent pouvoir multiplier deux fractions en multipliant numérateurs et dénominateurs, diviser une fraction par une autre en inversant le diviseur, et justifier leurs étapes avec des exemples concrets ou des schémas. Leur langage doit refléter cette distinction claire entre addition, multiplication et division.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During 'La fraction d'une fraction', certains élèves appliquent la méthode de l'addition (recherche d'un dénominateur commun) à la multiplication.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Utilisez les dessins de fractions superposées pendant l’activité pour montrer que multiplier 1/2 par 1/3 revient à prendre la moitié d’un tiers, ce qui ne nécessite aucun dénominateur commun. Insistez sur l’idée que 'fois' signifie 'de' dans ce contexte.

Idée reçue courante

During 'Think-Pair-Share', des élèves pensent que multiplier une fraction donne toujours un résultat plus grand.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Lors de la phase de comparaison, demandez aux élèves de calculer des exemples comme 2/3 × 1/4 et 2/3 × 4/3 pour montrer que le résultat peut être plus petit ou plus grand selon la fraction multipliée.

Idée reçue courante

During 'L'inverse, c'est quoi ?', des élèves oublient d’inverser la deuxième fraction lors de la division.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Faites écrire aux élèves l’opération sous forme de phrase : 'diviser par 3/4, c’est multiplier par son retourné (4/3)'. Utilisez des cartes avec des flèches pour visualiser l’inversion sur le tableau.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After 'La fraction d'une fraction', présentez deux calculs : 1) 2/5 × 3/4 et 2) 2/5 : 3/4. Demandez aux élèves d’écrire le résultat de chaque calcul et d’expliquer en une phrase la différence de méthode utilisée pour chaque opération.

Billet de sortie

After 'Le partage de pizza', donnez aux élèves un problème : 'Un pâtissier a 5/6 d’une tablette de chocolat. Il souhaite faire des petits sachets contenant chacun 1/12 de tablette. Combien de sachets peut-il faire ?' Les élèves doivent écrire le calcul sous forme de division, donner la réponse et expliquer leur démarche.

Question de discussion

During 'Think-Pair-Share', posez la question : 'Pourquoi multiplier une fraction par 1/2 donne-t-il un résultat plus petit que la fraction de départ, alors que multiplier par 2 donne un résultat plus grand ?' Guidez la discussion vers la notion de 'partager' ou 'prendre une partie de' en utilisant des exemples concrets tirés de l’activité.

Extensions et étayage

• Challenge: Proposez aux élèves de créer leur propre problème de multiplication ou division de fractions avec une solution détaillée, puis échangez-les avec un pair pour résoudre celui de l’autre.
• Scaffolding: Pour les élèves en difficulté, donnez-leur des fractions déjà simplifiées et des grilles de calcul avec les numérateurs et dénominateurs séparés pour éviter les erreurs de placement.
• Deeper exploration: Invitez les élèves à explorer comment la multiplication par une fraction supérieure à 1 ou inférieure à 1 change le résultat, en utilisant des exemples numériques et des représentations graphiques.

Vocabulaire clé

Numérateur	Le nombre situé au-dessus de la barre de fraction, représentant combien de parties d'une unité sont prises.
Dénominateur	Le nombre situé sous la barre de fraction, indiquant en combien de parties égales l'unité est divisée.
Inverse d'une fraction	Le nombre qui, multiplié par la fraction d'origine, donne 1. Il s'obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur.
Produit de fractions	Le résultat obtenu en multipliant deux fractions ; on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Quotient de fractions	Le résultat obtenu en divisant deux fractions ; cela revient à multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde.