Mathématiques · 5ème · Géométrie Plane et Raisonnement · 2e Trimestre

Bissectrices et Cercle Inscrit

Les élèves étudient les bissectrices d'un triangle et leur point de concours, le centre du cercle inscrit.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Espace et géométrie
• MEN: Cycle 4 - Connaître les propriétés des figures usuelles

À propos de ce thème

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Dans un triangle, les trois bissectrices se coupent en un point remarquable appelé centre du cercle inscrit, équidistant des trois côtés. Ce point est le centre du plus grand cercle que l'on peut tracer à l'intérieur du triangle, tangent aux trois côtés.

Cette notion renforce la compréhension de l'équidistance et prépare le terrain pour les lieux géométriques étudiés plus tard au cycle 4. La construction à la règle et au compas (ou au rapporteur) mobilise des compétences de précision et de rigueur qui sont des objectifs explicites de l'Éducation nationale.

L'apprentissage actif convient particulièrement à ce sujet : les élèves qui construisent eux-mêmes le cercle inscrit et vérifient qu'il est bien tangent aux trois côtés s'approprient la propriété d'équidistance de manière concrète, plutôt que de la recevoir comme un fait abstrait.

Questions clés

1. Comment la bissectrice d'un angle est-elle liée à l'ensemble des points équidistants de ses côtés ?
2. Pourquoi les bissectrices d'un triangle se coupent-elles en un seul point, le centre du cercle inscrit ?
3. Comment utiliser les bissectrices pour résoudre des problèmes de construction ?

Objectifs d'apprentissage

• Démontrer la propriété d'équidistance du centre du cercle inscrit par rapport aux côtés du triangle.
• Construire le cercle inscrit d'un triangle donné en utilisant les bissectrices.
• Expliquer pourquoi les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes.
• Calculer la longueur du rayon du cercle inscrit à partir des mesures du triangle et de son aire.

Avant de commencer

Propriétés des angles et des droites

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la notion d'angle, de mesure d'angle et de demi-droite pour comprendre la définition de la bissectrice.

Construction de triangles

Pourquoi : La capacité à construire des triangles à l'aide d'instruments de géométrie est fondamentale pour ensuite y tracer les bissectrices.

Notion de distance et de perpendiculaire

Pourquoi : Comprendre la distance entre un point et une droite est essentiel pour appréhender l'équidistance du centre du cercle inscrit aux côtés.

Vocabulaire clé

Bissectrice	Demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. Dans un triangle, c'est la droite passant par un sommet et coupant le côté opposé, divisant l'angle du sommet en deux.
Centre du cercle inscrit	Point d'intersection des trois bissectrices d'un triangle. Il est équidistant des trois côtés du triangle.
Cercle inscrit	Le plus grand cercle que l'on peut tracer à l'intérieur d'un triangle. Il est tangent aux trois côtés du triangle et son centre est le centre du cercle inscrit.
Équidistant	Se dit de points qui sont à la même distance d'un autre point ou d'une droite. Le centre du cercle inscrit est équidistant des trois côtés du triangle.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre bissectrice et médiatrice.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La bissectrice partage un angle en deux ; la médiatrice est perpendiculaire à un segment en son milieu. Faire tracer les deux sur un même triangle, en insistant sur ce que chacune "coupe en deux", clarifie la différence.

Idée reçue courante

Croire que le cercle inscrit passe par les sommets du triangle.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Le cercle inscrit est tangent aux côtés, il ne passe pas par les sommets (c'est le cercle circonscrit qui passe par les sommets). Faire tracer les deux cercles sur un même triangle rend la distinction visible.

Idée reçue courante

Penser que la bissectrice coupe le côté opposé en son milieu.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La bissectrice ne coupe le côté opposé en son milieu que dans un triangle isocèle (pour l'angle au sommet). Sur un triangle scalène, la mesure directe montre que les deux segments ne sont pas égaux.

Idées d'apprentissage actif

Hands-On Lab : Le cercle inscrit par pliage

Les élèves tracent un grand triangle sur papier calque, puis plient le papier pour superposer les deux côtés de chaque angle. Les plis forment les bissectrices. Leur intersection donne le centre du cercle inscrit, qu'ils tracent au compas en mesurant la distance au côté le plus proche.

30 min·Individuel

Cercle de recherche: Équidistance expérimentale

En groupes, les élèves choisissent un point sur une bissectrice et mesurent sa distance aux deux côtés de l'angle. Ils répètent pour plusieurs points et formulent la conjecture : tout point de la bissectrice est équidistant des deux côtés. Le groupe rédige cette propriété.

25 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Prédire le rayon

Le professeur affiche un triangle avec ses trois bissectrices tracées. Individuellement, chaque élève estime le rayon du cercle inscrit. En binômes, ils confrontent leurs estimations, puis mesurent la distance réelle du centre au côté.

15 min·Binômes

Galerie marchande: Triangles et cercles inscrits

Chaque groupe construit le cercle inscrit d'un triangle de nature différente (équilatéral, isocèle, scalène, rectangle). Les constructions sont affichées. La classe compare les positions et les tailles relatives des cercles inscrits.

30 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• En architecture, la conception de structures triangulaires stables peut impliquer le calcul du cercle inscrit pour optimiser la répartition des charges ou l'intégration d'éléments centraux.
• Dans le domaine de la fabrication, les artisans utilisant des tours peuvent s'appuyer sur des principes géométriques similaires pour centrer des pièces de bois ou de métal afin d'assurer une rotation uniforme.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Distribuer aux élèves une feuille avec trois triangles de formes différentes. Demander : 'Construisez les bissectrices de chaque triangle et marquez le centre du cercle inscrit. Vérifiez avec votre règle que ce point est bien à la même distance de chaque côté.'

Question de discussion

Poser la question : 'Imaginez que vous devez placer une fontaine au centre exact d'une parcelle triangulaire pour qu'elle soit accessible de manière égale depuis trois chemins différents. Quel concept mathématique utiliseriez-vous et pourquoi ?' Guider la discussion vers la bissectrice et le cercle inscrit.

Billet de sortie

Sur un petit papier, demander aux élèves de dessiner un triangle, de tracer une seule bissectrice, puis d'écrire une phrase expliquant la propriété principale de cette droite par rapport à l'angle qu'elle coupe.

Questions fréquentes

Comment tracer la bissectrice d'un angle au compas ?

Depuis le sommet, tracez un arc coupant les deux côtés de l'angle. Depuis chaque point d'intersection, tracez deux arcs de même rayon qui se coupent. La droite passant par le sommet et ce point d'intersection est la bissectrice.

Qu'est-ce que le cercle inscrit d'un triangle ?

C'est le plus grand cercle contenu entièrement dans le triangle, tangent à ses trois côtés. Son centre est l'intersection des trois bissectrices, et son rayon est la distance de ce centre à n'importe lequel des trois côtés.

Quelle est la différence entre cercle inscrit et cercle circonscrit ?

Le cercle inscrit est à l'intérieur du triangle, tangent aux côtés (centre = intersection des bissectrices). Le cercle circonscrit passe par les trois sommets (centre = intersection des médiatrices). Les deux centres ne coïncident que dans le triangle équilatéral.

Comment rendre l'étude des bissectrices plus active en classe ?

Le pliage de papier calque est une entrée kinesthésique efficace : plier pour superposer les côtés d'un angle produit naturellement la bissectrice. Les élèves comprennent la symétrie axiale sous-jacente avant même de formaliser la définition.