Mathématiques · 5ème · Géométrie Plane et Raisonnement · 2e Trimestre

Médiatrices et Cercle Circonscrit

Les élèves découvrent la médiatrice d'un segment et son rôle dans la construction du cercle circonscrit à un triangle.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Espace et géométrie
• MEN: Cycle 4 - Connaître les propriétés des figures usuelles

À propos de ce thème

La médiatrice d un segment et le cercle circonscrit à un triangle sont des notions géométriques fondamentales du programme de cycle 4. La médiatrice est l ensemble des points équidistants des deux extrémités d un segment. Cette caractérisation, plus riche qu une simple "droite perpendiculaire passant par le milieu", donne un sens profond aux constructions.

Le résultat central de cette séquence est que les trois médiatrices d un triangle se coupent en un unique point, le centre du cercle circonscrit. Ce point est équidistant des trois sommets, ce qui permet de tracer un cercle passant par les trois sommets. Le programme de l Éducation nationale attend que les élèves sachent construire ce cercle et utiliser ses propriétés.

Les constructions à la règle et au compas sont par nature des activités pratiques. Le travail en groupe enrichit l expérience : les élèves vérifient mutuellement la précision de leurs tracés, confrontent leurs résultats et constatent que de petites imprécisions de construction conduisent à des médiatrices qui ne se croisent pas exactement en un point.

Questions clés

1. Comment la médiatrice d'un segment est-elle liée à l'ensemble des points équidistants de ses extrémités ?
2. Pourquoi les médiatrices d'un triangle se coupent-elles en un seul point, le centre du cercle circonscrit ?
3. Comment utiliser les médiatrices pour résoudre des problèmes de construction géométrique ?

Objectifs d'apprentissage

• Démontrer la propriété fondamentale de la médiatrice d'un segment comme étant le lieu géométrique des points équidistants de ses extrémités.
• Construire le cercle circonscrit à un triangle en utilisant les médiatrices des côtés.
• Expliquer pourquoi le point d'intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.
• Comparer les positions du centre du cercle circonscrit par rapport aux différents types de triangles (acutangle, rectangle, obtusangle).

Avant de commencer

Propriétés des droites perpendiculaires

Pourquoi : Les élèves doivent savoir identifier et construire des droites perpendiculaires pour comprendre la définition de la médiatrice.

Construction de triangles

Pourquoi : La construction du cercle circonscrit s'applique à un triangle, donc les élèves doivent être capables de construire ou d'identifier des triangles.

Utilisation de la règle et du compas

Pourquoi : Les constructions géométriques de la médiatrice et du cercle circonscrit nécessitent la maîtrise des outils de base de la géométrie euclidienne.

Vocabulaire clé

Médiatrice	La droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. C'est aussi l'ensemble des points équidistants des deux extrémités du segment.
Cercle circonscrit	Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle. Son centre est le point d'intersection des médiatrices du triangle.
Équidistant	Se dit de points qui sont à la même distance d'un autre point ou d'une droite.
Centre du cercle circonscrit	Le point unique où les trois médiatrices d'un triangle se coupent. Ce point est le centre du cercle passant par les trois sommets.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre médiatrice et médiane d un triangle.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La médiatrice est perpendiculaire au segment et passe par son milieu. La médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. En construisant les deux sur un même triangle en groupe, les élèves visualisent la différence et constatent que seules les médiatrices déterminent le cercle circonscrit.

Idée reçue courante

Croire que le centre du cercle circonscrit est toujours à l intérieur du triangle.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pour un triangle obtusangle, le centre est à l extérieur. Pour un triangle rectangle, il est sur l hypoténuse. La construction en groupe de plusieurs types de triangles permet de découvrir ces cas et de corriger cette intuition erronée.

Idée reçue courante

Penser que deux médiatrices suffisent et que la troisième est inutile.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Mathématiquement, deux médiatrices suffisent pour trouver le centre. Mais la troisième sert de vérification. En construction, si les trois ne se croisent pas en un point, c est le signe d une imprécision. Le travail en groupe intègre naturellement cette vérification.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: À la recherche du point magique

Chaque groupe trace un triangle quelconque et construit les trois médiatrices à la règle et au compas. Ils constatent que les trois droites se croisent en un point. En plaçant la pointe du compas sur ce point, ils tracent le cercle passant par les trois sommets.

35 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: La propriété d équidistance

Chaque élève place 5 points sur la médiatrice d un segment [AB] et mesure les distances de chaque point à A et à B. En binôme, ils comparent leurs mesures et formulent la conjecture : tout point de la médiatrice est équidistant de A et B.

25 min·Binômes

Enseignement par les pairs: Construction guidée

Un élève construit la médiatrice d un segment en utilisant uniquement le compas (méthode des deux arcs). Il explique chaque étape à son binôme qui reproduit la construction pour un autre segment. Ils comparent la précision de leurs tracés.

20 min·Binômes

Galerie marchande: Triangles spéciaux et cercle circonscrit

Chaque groupe construit le cercle circonscrit d un triangle particulier : rectangle, isocèle, équilatéral. Ils notent la position du centre (sur l hypoténuse, sur l axe de symétrie, au centre de gravité). Les affiches sont exposées et les élèves cherchent les régularités.

30 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Les architectes utilisent les propriétés du cercle circonscrit pour concevoir des structures circulaires stables, comme des dômes ou des tours, assurant une répartition uniforme des contraintes.
• Dans la cartographie et la navigation, trouver le centre d'un cercle passant par plusieurs points de référence (comme des phares ou des villes côtières) peut aider à déterminer une position ou une zone d'intérêt commune.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Donnez aux élèves une feuille avec plusieurs triangles (acutangle, rectangle, obtusangle). Demandez-leur de construire le cercle circonscrit pour chaque triangle et d'annoter la position du centre par rapport au triangle. Vérifiez la précision des constructions et la localisation correcte du centre.

Billet de sortie

Posez la question suivante : 'Expliquez en une phrase pourquoi le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit.' Collectez les réponses pour évaluer la compréhension de la propriété clé.

Question de discussion

Présentez un segment AB et demandez aux élèves : 'Comment trouveriez-vous tous les points qui sont à la même distance de A et de B ?' Guidez la discussion vers la définition et la construction de la médiatrice.

Questions fréquentes

Qu est-ce que la médiatrice d un segment ?

C est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu. Sa propriété fondamentale : tout point situé sur la médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment. Cette caractéristique est la clé de la construction du cercle circonscrit.

Comment construire le cercle circonscrit d un triangle ?

Construisez les médiatrices de deux côtés du triangle. Leur point d intersection est le centre du cercle circonscrit. Ouvrez le compas du centre à un sommet et tracez le cercle. Vérifiez qu il passe par les trois sommets. La troisième médiatrice sert de contrôle.

Où se trouve le centre du cercle circonscrit d un triangle rectangle ?

Il se trouve exactement au milieu de l hypoténuse. C est un résultat remarquable : le diamètre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est l hypoténuse. Les élèves le découvrent souvent par surprise lors de la construction.

Comment enseigner la médiatrice de façon active ?

Commencez par l activité d équidistance : les élèves placent des points à égale distance de A et B et constatent qu ils forment une droite. La construction au compas devient alors naturelle car l outil produit des points équidistants. Le travail en groupe permet la vérification croisée des tracés.