Mathématiques · 4ème · Le Langage de l'Algèbre · 1er Trimestre

Inégalités et Inéquations

Les élèves introduisent les inégalités et résolvent des inéquations simples du premier degré.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Nombres et calculs

À propos de ce thème

Les inégalités et inéquations introduisent une rupture avec le monde des équations : la solution n'est plus un nombre unique mais un ensemble de nombres. L'élève de 4ème découvre les symboles <, >, ≤, ≥ dans un contexte algébrique et apprend à résoudre des inéquations simples du premier degré. La représentation de l'ensemble des solutions sur une droite graduée est un outil de visualisation essentiel.

La difficulté conceptuelle majeure réside dans l'inversion du sens de l'inégalité lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif. Cette règle, souvent perçue comme arbitraire, prend tout son sens lorsqu'on la vérifie numériquement : si 3 < 5, alors -3 > -5 (la symétrie par rapport à zéro inverse l'ordre). Le programme du cycle 4 relie ce sujet aux problèmes de la vie courante impliquant des contraintes. Les approches actives, avec des activités de classement et de représentation graphique en groupes, permettent de construire l'intuition avant la formalisation.

Questions clés

1. Comment les symboles d'inégalité (<, >, ≤, ≥) diffèrent-ils du signe d'égalité ?
2. Expliquez pourquoi la multiplication ou la division par un nombre négatif inverse le sens d'une inégalité.
3. Représentez graphiquement l'ensemble des solutions d'une inéquation.

Objectifs d'apprentissage

• Comparer les ensembles de solutions de deux inéquations simples du premier degré.
• Expliquer la règle d'inversion du sens d'une inégalité lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif.
• Représenter graphiquement sur une droite graduée l'ensemble des solutions d'une inéquation du premier degré.
• Résoudre algébriquement des inéquations simples du premier degré à une inconnue.
• Identifier le sens d'une inégalité (<, >, ≤, ≥) dans un problème concret.

Avant de commencer

Équations du premier degré à une inconnue

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la résolution d'équations pour comprendre les manipulations algébriques similaires appliquées aux inéquations.

Nombres relatifs

Pourquoi : La manipulation des nombres positifs et négatifs, y compris la multiplication et la division, est fondamentale pour comprendre l'inversion du sens de l'inégalité.

Vocabulaire clé

Inégalité	Relation entre deux nombres ou expressions qui ne sont pas égaux, indiquée par les symboles <, >, ≤, ou ≥.
Inéquation	Équation dont la relation d'égalité est remplacée par une relation d'inégalité.
Ensemble solution	Ensemble de toutes les valeurs de la variable qui rendent l'inéquation vraie.
Droite graduée	Une droite sur laquelle chaque point est associé à un nombre réel, utilisée pour visualiser des ensembles de nombres.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Oublier d'inverser le sens de l'inégalité en multipliant ou divisant par un nombre négatif.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'investigation numérique en groupe, où les élèves testent systématiquement des multiplications par des nombres positifs et négatifs, permet de découvrir la règle par l'expérience. La vérification systématique avec des valeurs numériques installe le réflexe.

Idée reçue courante

Représenter la solution d'une inéquation stricte avec un point plein au lieu d'un point vide sur la droite graduée.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les discussions en binôme sur la signification de 'strictement inférieur' vs 'inférieur ou égal' clarifient la convention. Tester la valeur frontière (est-elle solution ou non ?) tranche le débat.

Idée reçue courante

Croire que les inéquations se résolvent exactement comme les équations, sans aucune précaution supplémentaire.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Proposer un exercice piège où la résolution 'naïve' donne un résultat faux (division par un coefficient négatif) force les élèves à constater l'erreur par vérification numérique et à intégrer la règle d'inversion.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: L'inversion mystérieuse

Les groupes reçoivent dix inégalités vraies (ex : 2 < 7) et doivent multiplier les deux membres par différentes valeurs (positives et négatives). Ils observent quand l'inégalité reste vraie et quand elle s'inverse, puis formulent la règle.

30 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Un nombre ou un ensemble ?

L'enseignant affiche côte à côte une équation (2x + 1 = 7) et une inéquation (2x + 1 < 7). Chaque élève résout les deux, puis discute avec son voisin de la différence fondamentale entre les deux types de solutions.

20 min·Binômes

Galerie marchande: Droites graduées et solutions

Des affiches présentent des inéquations résolues avec leur représentation sur droite graduée. Certaines contiennent des erreurs (intervalle ouvert/fermé, sens de l'inégalité). Les groupes identifient et corrigent les erreurs.

25 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Inéquations en contexte

Quatre ateliers : budget (dépense maximale), physique (température minimale), géométrie (longueur d'un côté pour un périmètre inférieur à une valeur), logique (trouver tous les entiers solutions). Chaque station contextualise une inéquation.

45 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Un organisateur d'événements doit s'assurer que le nombre d'invités (x) respecte un budget maximum, par exemple, x ≤ 150 personnes. Il doit résoudre cette inéquation pour planifier la capacité de la salle.
• Un commerçant fixe le prix d'un article. Il souhaite que son bénéfice (B) soit supérieur à 50€, soit B > 50. Il doit déterminer le nombre d'articles à vendre pour atteindre cet objectif.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves l'inéquation 2x - 3 < 7. Demandez-leur de trouver l'ensemble solution, de le représenter sur une droite graduée, et d'écrire une phrase expliquant pourquoi ils ont choisi ce sens pour la solution.

Vérification rapide

Présentez deux affirmations : a) Si x > 5, alors -2x < -10. b) Si x < 3, alors x/(-4) > -3/4. Demandez aux élèves d'indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse et de justifier leur réponse en utilisant la règle de multiplication/division par un nombre négatif.

Question de discussion

Posez la question : 'Comment le symbole utilisé dans une inéquation (par exemple, < versus ≤) change-t-il la représentation de l'ensemble solution sur une droite graduée ?' Encouragez les élèves à utiliser les termes 'strictement inférieur' et 'inférieur ou égal'.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation cherche les valeurs qui rendent une égalité vraie : elle a généralement une seule solution. Une inéquation cherche les valeurs qui rendent une inégalité vraie : elle a généralement un ensemble infini de solutions, représenté par un intervalle sur la droite graduée.

Pourquoi le sens de l'inégalité change-t-il quand on multiplie par un négatif ?

Multiplier par un nombre négatif revient à prendre l'opposé et à changer de signe. Sur la droite graduée, cela correspond à une symétrie par rapport à zéro, qui inverse l'ordre. Si 2 < 5, alors -2 > -5 car -2 est plus à droite que -5 sur la droite.

Comment représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée ?

On place la valeur frontière sur la droite. Si l'inégalité est stricte (< ou >), on utilise un cercle vide pour indiquer que cette valeur n'est pas incluse. Si elle est large (≤ ou ≥), on utilise un cercle plein. On colorie ou fléche la partie de la droite contenant les solutions.

Comment les activités de groupe aident-elles à comprendre les inéquations ?

Les investigations numériques en groupe permettent de découvrir la règle d'inversion par l'expérience plutôt que par l'affirmation. Représenter graphiquement les solutions sur des droites graduées en équipe développe la compréhension visuelle. Les problèmes contextualisés donnent du sens à la notion de contrainte.