Mathématiques · 4ème · Le Langage de l'Algèbre · 1er Trimestre

Fonctions Linéaires et Affines (Introduction)

Les élèves découvrent la notion de fonction, en particulier les fonctions linéaires et affines, et leur représentation graphique.

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• MEN: Cycle 4 - Fonctions

À propos de ce thème

L'introduction aux fonctions linéaires et affines est l'un des moments charnières du cycle 4. L'élève passe d'une vision statique des nombres à une vision dynamique : une fonction décrit comment une grandeur dépend d'une autre. La fonction linéaire f(x) = ax modélise la proportionnalité ; la fonction affine f(x) = ax + b ajoute un décalage initial. Ces deux modèles couvrent un nombre considérable de situations du quotidien et des sciences.

Le programme de l'Éducation nationale attend que l'élève reconnaisse et distingue ces deux types de fonctions, les représente graphiquement (droite passant par l'origine pour la linéaire, droite quelconque pour l'affine) et interprète les paramètres a (pente, coefficient directeur) et b (ordonnée à l'origine) dans un contexte concret. Les approches actives sont idéales ici : tracer des droites, comparer des graphiques, relier des expressions à des situations concrètes en petits groupes donne du sens aux abstractions algébriques.

Questions clés

1. Comment une fonction décrit-elle une relation de dépendance entre deux grandeurs ?
2. Distinguez une fonction linéaire d'une fonction affine par leur expression et leur représentation graphique.
3. Interprétez la pente et l'ordonnée à l'origine d'une droite dans un contexte réel.

Objectifs d'apprentissage

• Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire ou affine donnée par son expression.
• Identifier la nature (linéaire ou affine) d'une fonction à partir de son expression algébrique et de sa représentation graphique.
• Déterminer l'expression d'une fonction linéaire ou affine à partir de deux points de sa représentation graphique.
• Comparer les variations de deux grandeurs modélisées par des fonctions linéaires ou affines dans un contexte donné.
• Expliquer le rôle du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine dans une situation concrète modélisée par une fonction affine.

Avant de commencer

Proportionnalité et Représentations Graphiques

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la notion de proportionnalité et savoir lire et interpréter des graphiques pour comprendre les fonctions linéaires.

Équations de Droites (notions de base)

Pourquoi : Une familiarité avec le repère cartésien et la notion de droite est nécessaire pour aborder la représentation graphique des fonctions.

Vocabulaire clé

Fonction	Une règle qui associe à chaque nombre d'entrée un unique nombre de sortie.
Fonction linéaire	Une fonction de la forme f(x) = ax, dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Fonction affine	Une fonction de la forme f(x) = ax + b, dont la représentation graphique est une droite.
Coefficient directeur (ou pente)	Le nombre 'a' dans l'expression f(x) = ax + b. Il indique la variation de la fonction lorsque la variable augmente de 1.
Ordonnée à l'origine	Le nombre 'b' dans l'expression f(x) = ax + b. Il correspond à la valeur de la fonction lorsque la variable est égale à 0.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre fonction linéaire et fonction affine : croire que toute droite passe par l'origine.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Tracer en groupe plusieurs droites avec des ordonnées à l'origine différentes et observer lesquelles passent par l'origine aide à distinguer les deux familles. Le lien avec la proportionnalité (linéaire = proportionnelle) clarifie la distinction.

Idée reçue courante

Interpréter la pente comme la 'hauteur' de la droite plutôt que comme un taux de variation.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les activités de comparaison de droites de même ordonnée à l'origine mais de pentes différentes en binôme montrent que la pente mesure 'combien y augmente quand x augmente de 1', pas la position verticale de la droite.

Idée reçue courante

Ne pas faire le lien entre le tableau de valeurs, le graphique et l'expression algébrique.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les investigations où les groupes doivent passer d'une représentation à l'autre (tableau vers graphique, graphique vers expression) sur le même exemple renforcent les connexions entre ces trois registres.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Proportionnel ou non ?

Chaque groupe reçoit des tableaux de valeurs et des situations (achat au poids, abonnement avec forfait, taxi avec prise en charge). Ils déterminent lesquelles sont linéaires et lesquelles sont affines, puis justifient par le calcul et le graphique.

35 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Que signifient a et b ?

L'enseignant projette la droite d'une fonction affine dans un contexte concret (coût d'un plombier). Chaque élève interprète la pente et l'ordonnée à l'origine individuellement, puis confronte son interprétation avec un voisin.

15 min·Binômes

Galerie marchande: La galerie des droites

Six affiches présentent des graphiques de fonctions avec des pentes et ordonnées à l'origine différentes. Les groupes associent chaque graphique à son expression algébrique et à une situation concrète correspondante.

25 min·Petits groupes

Enseignement par les pairs: Mon graphique, ton expression

Un binôme dessine le graphique d'une fonction affine sans donner l'expression. L'autre binôme doit déduire l'expression à partir du graphique, puis vérifier en comparant des images calculées et lues graphiquement.

25 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• Un mécanicien calcule le coût total d'une réparation en utilisant une fonction affine. Le coût 'b' représente le forfait de diagnostic, et le coût 'ax' représente le prix des pièces et de la main-d'œuvre au taux horaire 'a'.
• Un opérateur de télécommunication modélise le prix d'un forfait internet avec une fonction affine. Le terme 'b' correspond à l'abonnement mensuel fixe, et le terme 'ax' représente le coût des données supplémentaires consommées, où 'a' est le prix par giga-octet.
• Un étudiant en économie analyse la relation entre le nombre d'unités produites et le coût total de production. Si le coût fixe est nul, il s'agit d'une fonction linéaire ; sinon, c'est une fonction affine.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves une feuille avec deux expressions : f(x) = 3x et g(x) = 2x + 5. Demandez-leur d'identifier le type de chaque fonction, de calculer f(4) et g(4), et d'expliquer la signification de '5' pour la fonction g(x).

Vérification rapide

Projetez un graphique représentant une droite. Posez les questions suivantes : 'Cette droite représente-t-elle une fonction linéaire ou affine ? Comment le savez-vous ? Si c'est une fonction affine, quelle est l'ordonnée à l'origine ? Comment pourriez-vous estimer le coefficient directeur ?'

Question de discussion

Présentez une situation : 'Un taxi facture 3€ de prise en charge plus 1,50€ par kilomètre parcouru.' Demandez aux élèves : 'Quelle est la fonction qui modélise le coût du trajet ? Quelle est la nature de cette fonction ? Que représentent les nombres 3 et 1,50 dans cette situation ?'

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire a la forme f(x) = ax : elle passe par l'origine et modélise la proportionnalité. Une fonction affine a la forme f(x) = ax + b : elle est décalée de b par rapport à l'origine. Toute fonction linéaire est affine (avec b = 0), mais l'inverse n'est pas vrai.

Comment interpréter la pente d'une droite dans un problème concret ?

La pente (coefficient directeur a) indique de combien la grandeur en ordonnée change quand celle en abscisse augmente d'une unité. Pour un taxi à 1,50 euros/km, la pente est 1,50 : chaque kilomètre supplémentaire coûte 1,50 euros. Une pente négative signifie une diminution.

Que représente l'ordonnée à l'origine dans la vie courante ?

L'ordonnée à l'origine (b) est la valeur de la grandeur quand la variable vaut zéro. Pour un plombier facturant 40 euros de déplacement plus 30 euros par heure, b = 40 : c'est le coût fixe avant toute heure de travail. Pour une fonction linéaire, b = 0 (pas de coût fixe).

Comment les activités de manipulation aident-elles à comprendre les fonctions ?

Tracer des droites, associer graphiques et expressions, passer du tableau au graphique en groupes construit une compréhension multi-registre. Les élèves qui manipulent physiquement les trois représentations (tableau, graphique, formule) développent une flexibilité mentale bien supérieure à ceux qui n'en utilisent qu'une.