Mathématiques · 4ème · Le Langage de l'Algèbre · 1er Trimestre

Calcul d'Images et d'Antécédents

Les élèves calculent l'image d'un nombre par une fonction et l'antécédent d'un nombre donné.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Fonctions

À propos de ce thème

Le calcul d'images et d'antécédents est au coeur de la manipulation des fonctions en 4ème. Calculer l'image de 3 par la fonction f revient à évaluer f(3) ; trouver l'antécédent de 7, c'est résoudre f(x) = 7. Ces deux opérations, l'une directe et l'autre inverse, sont les gestes fondamentaux du travail fonctionnel. L'élève doit maîtriser ces calculs à la fois par voie algébrique et par lecture graphique.

Le vocabulaire spécifique (image, antécédent) est une source de confusion fréquente. Beaucoup d'élèves inversent les deux termes ou ne voient pas le lien avec la substitution et la résolution d'équation. Le programme du cycle 4 insiste sur la double compétence : savoir passer de l'expression à la valeur numérique, et du graphique à la valeur numérique. Les approches actives, où les élèves pratiquent les deux méthodes en parallèle et comparent leurs résultats, renforcent la cohérence entre les registres algébrique et graphique.

Questions clés

1. Comment déterminer l'image d'un nombre par une fonction à partir de son expression ou de son graphique ?
2. Expliquez la méthode pour trouver l'antécédent d'un nombre par une fonction affine.
3. Comparez les méthodes de calcul d'images et d'antécédents (algébrique et graphique).

Objectifs d'apprentissage

• Calculer l'image d'un nombre donné par une fonction affine à partir de son expression algébrique.
• Déterminer l'antécédent d'un nombre donné par une fonction affine en résolvant une équation.
• Lire graphiquement l'image d'un nombre par une fonction représentée par une droite.
• Lire graphiquement l'antécédent d'un nombre par une fonction représentée par une droite.
• Comparer les résultats obtenus par calcul algébrique et par lecture graphique pour une même fonction.

Avant de commencer

Résolution d'équations du premier degré

Pourquoi : La détermination de l'antécédent nécessite la résolution d'une équation du type ax + b = y.

Repérage de points dans un plan

Pourquoi : La lecture graphique d'images et d'antécédents demande de savoir placer et lire des coordonnées dans un repère.

Vocabulaire clé

Fonction affine	Une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Sa représentation graphique est une droite.
Image	L'image d'un nombre x par une fonction f est la valeur obtenue en remplaçant x par ce nombre dans l'expression de f. On la note f(x).
Antécédent	L'antécédent d'un nombre y par une fonction f est le nombre x tel que f(x) = y. Il peut y avoir un ou plusieurs antécédents.
Représentation graphique	Le dessin d'une fonction dans un repère orthonormé. Pour une fonction affine, il s'agit d'une droite.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre image et antécédent : donner l'image quand on demande l'antécédent et inversement.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'analogie de la machine aide : on entre un nombre (antécédent), la machine (fonction) produit un résultat (image). Les activités de tri en binôme, où l'élève doit classer des questions avant de calculer, installent le réflexe de lecture attentive de la consigne.

Idée reçue courante

Lire l'image sur l'axe des abscisses au lieu de l'axe des ordonnées (et inversement pour l'antécédent).

Ce qu'il faut enseigner à la place

Un protocole de lecture graphique en étapes (partir de l'axe des x, monter ou descendre jusqu'à la droite, puis lire sur l'axe des y) pratiqué en groupe avec des fléchages sur le graphique stabilise la méthode. La couleur aide : x en bleu, y en rouge.

Idée reçue courante

Croire qu'un nombre a toujours exactement un antécédent.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Montrer en petit groupe des fonctions non linéaires (une parabole) où un nombre a deux antécédents, ou des fonctions affines où certains nombres n'ont aucun antécédent dans un domaine restreint, ouvre la réflexion sur l'unicité.

Idées d'apprentissage actif

Penser-Partager-Présenter: Image ou antécédent ?

L'enseignant projette des questions formulées de différentes manières ('Calculer f(4)', 'Quel nombre a pour image 10 ?', 'Résoudre f(x) = 6'). Chaque élève classe chaque question, puis vérifie avec son voisin s'il cherche une image ou un antécédent.

15 min·Binômes

Cercle de recherche: Deux méthodes, un résultat

Chaque groupe reçoit une fonction avec son expression et son graphique. Ils calculent images et antécédents par les deux méthodes (algébrique et graphique) et vérifient que les résultats concordent. Les écarts sont analysés.

30 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Les quatre langages

Quatre ateliers, chacun centré sur un mode de détermination : calcul algébrique d'image, lecture graphique d'image, résolution algébrique d'antécédent, lecture graphique d'antécédent. Les groupes tournent et comparent les résultats obtenus à chaque station.

40 min·Petits groupes

Enseignement par les pairs: Le jeu des questions-réponses

Un binôme pose des questions de type 'Quelle est l'image de ... ?' ou 'Quel est l'antécédent de ... ?' à un autre binôme qui doit répondre en utilisant la méthode imposée (graphique ou algébrique). Les réponses sont vérifiées mutuellement.

20 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• En météorologie, les météorologues utilisent des fonctions pour modéliser la relation entre la température et l'altitude. Calculer l'image d'une altitude permet de prédire la température à cet endroit.
• Dans le domaine de la finance, une fonction peut représenter l'évolution d'un capital en fonction du temps. Trouver l'antécédent d'un montant cible permet de déterminer quand ce montant sera atteint.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Donnez aux élèves une fonction affine, par exemple f(x) = 2x - 1. Demandez-leur de calculer l'image de 5 et l'antécédent de 9. Vérifiez leurs calculs individuellement.

Billet de sortie

Sur une feuille, tracez la droite représentant la fonction g(x) = -x + 3. Posez deux questions : 1. Quelle est l'image de 2 par la fonction g ? 2. Quel est l'antécédent de 1 par la fonction g ? Les élèves doivent répondre en utilisant la droite.

Question de discussion

Proposez un graphique d'une fonction affine et une situation problème : 'Un vendeur de fruits gagne 5€ par jour plus 0.50€ par kilo vendu. Quel est son gain pour 10kg vendus ? Combien de kilos doit-il vendre pour gagner 50€ ?'. Demandez aux élèves d'expliquer comment ils utiliseraient le graphique et le calcul algébrique pour répondre aux deux questions.

Questions fréquentes

Comment calculer l'image d'un nombre par une fonction affine ?

On remplace x par le nombre dans l'expression de la fonction. Pour f(x) = 3x - 2, l'image de 5 est f(5) = 3(5) - 2 = 13. Graphiquement, on part de x = 5 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la droite, puis on lit la valeur correspondante sur l'axe vertical.

Comment trouver l'antécédent d'un nombre par une fonction affine ?

On résout l'équation f(x) = nombre donné. Pour f(x) = 3x - 2 et un antécédent de 7 : on résout 3x - 2 = 7, soit 3x = 9, soit x = 3. Graphiquement, on part de y = 7 sur l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la droite, puis on lit x sur l'axe horizontal.

Quelle est la différence entre image et antécédent en maths ?

L'image est le résultat obtenu quand on applique la fonction à un nombre : c'est la sortie. L'antécédent est le nombre de départ qui produit un résultat donné : c'est l'entrée. Pour f(x) = 2x, l'image de 3 est 6, et l'antécédent de 6 est 3. Ce sont les deux directions du même lien.

En quoi la pratique en binôme aide-t-elle à maîtriser images et antécédents ?

Alterner les rôles (un qui pose la question, l'autre qui répond avec la méthode imposée) force chaque élève à pratiquer les quatre cas : image algébrique, image graphique, antécédent algébrique, antécédent graphique. La vérification croisée détecte les inversions et les erreurs de lecture.