Mathématiques · 4ème · Le Langage de l'Algèbre · 1er Trimestre

Problèmes avec Fonctions Linéaires/Affines

Les élèves modélisent des situations concrètes à l'aide de fonctions linéaires ou affines et les résolvent.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Fonctions

À propos de ce thème

La résolution de problèmes modélisés par des fonctions linéaires ou affines est l'aboutissement du travail sur les fonctions en 4ème. L'élève doit choisir le bon modèle fonctionnel, définir la variable, écrire l'expression, calculer des images ou des antécédents selon la question posée, et interpréter les résultats dans le contexte initial. Ce va-et-vient entre le monde concret et le monde mathématique est au coeur de la compétence de modélisation visée par le cycle 4.

Les situations proposées sont variées : comparaison de tarifs (téléphone, transport), prévision de phénomènes (remplissage, refroidissement), analyse de données (budget, consommation). Le choix entre modèle linéaire et affine dépend de la présence ou non d'une valeur initiale non nulle. Les approches actives, où les groupes modélisent la même situation puis comparent leurs choix, révèlent les critères de décision et développent le regard critique sur la pertinence du modèle choisi.

Questions clés

1. Comment choisir le type de fonction (linéaire ou affine) pour modéliser une situation donnée ?
2. Justifiez l'interprétation des résultats obtenus (images, antécédents) dans le contexte du problème.
3. Évaluez la pertinence du modèle fonctionnel choisi pour représenter la réalité.

Objectifs d'apprentissage

• Comparer des situations modélisées par des fonctions linéaires et affines pour identifier les critères de choix du modèle pertinent.
• Calculer des images et des antécédents pour résoudre des problèmes concrets liés à des fonctions linéaires ou affines.
• Expliquer la signification des paramètres (pente, ordonnée à l'origine) dans le contexte d'un problème modélisé.
• Évaluer la pertinence d'un modèle fonctionnel (linéaire ou affine) en analysant la cohérence des résultats avec la situation initiale.
• Créer un modèle fonctionnel simple pour représenter une situation concrète donnée.

Avant de commencer

Notions de fonction : ensemble de départ, ensemble d'arrivée, image, antécédent

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser le vocabulaire et les concepts de base des fonctions avant de pouvoir les appliquer à des situations concrètes.

Représentation graphique de fonctions linéaires et affines

Pourquoi : La visualisation graphique aide à comprendre la relation entre la variable, la fonction et les paramètres, facilitant ainsi la modélisation de situations.

Calcul littéral : manipulation d'expressions algébriques

Pourquoi : La capacité à écrire et manipuler des expressions de la forme ax + b est fondamentale pour définir et utiliser les fonctions affines.

Vocabulaire clé

Fonction linéaire	Une fonction de la forme f(x) = ax. Elle modélise une situation où la grandeur de sortie est directement proportionnelle à la grandeur d'entrée, avec un point de départ à l'origine (0,0).
Fonction affine	Une fonction de la forme f(x) = ax + b. Elle modélise une situation avec une proportionnalité (ax) et une valeur initiale fixe (b) qui n'est pas nulle.
Variable	La grandeur d'entrée de la fonction, souvent représentée par x, qui représente une quantité mesurable dans la situation concrète (par exemple, le temps, la distance, la quantité).
Image	La valeur de sortie de la fonction pour une valeur donnée de la variable. Elle correspond à une quantité calculée ou prévue dans la situation concrète.
Antécédent	La valeur de la variable pour laquelle la fonction donne une image donnée. Elle permet de trouver la valeur d'entrée nécessaire pour obtenir un résultat spécifique.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Utiliser un modèle linéaire (f(x) = ax) quand la situation comporte un coût fixe ou une valeur initiale.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les activités de comparaison en groupe, où les élèves testent si f(0) = 0 dans leur situation, permettent de trancher systématiquement entre linéaire et affine. Si f(0) est différent de zéro, le modèle est affine.

Idée reçue courante

Calculer une image quand le problème demande un antécédent, et inversement.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Un travail de reformulation en binôme ('On connaît le prix et on cherche le nombre d'heures' vs 'On connaît le nombre d'heures et on cherche le prix') aide à identifier la direction du calcul avant de se lancer dans la résolution.

Idée reçue courante

Ne pas vérifier la pertinence du domaine de validité du modèle (ex : prédire un temps négatif ou un nombre fractionnaire de personnes).

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les débats en groupe sur les limites du modèle ('La droite prédit -3 personnes, est-ce réaliste ?') développent l'esprit critique et l'habitude de préciser le domaine de validité de la modélisation.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Quel forfait choisir ?

Chaque groupe reçoit trois offres de téléphone avec des coûts fixes et des prix à la minute différents. Ils modélisent chaque offre par une fonction affine, tracent les droites et déterminent graphiquement pour quel volume d'appels chaque offre est la plus avantageuse.

40 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Linéaire ou affine ?

L'enseignant présente six situations (achat au kilo, taxi avec prise en charge, conversion de devises, location avec caution). Chaque élève détermine si le modèle est linéaire ou affine, puis confronte et justifie son choix avec un voisin.

15 min·Binômes

Galerie marchande: Les modèles du quotidien

Cinq affiches présentent des problèmes réels avec les données brutes. Les groupes circulent pour proposer un modèle fonctionnel, écrire l'expression et répondre à une question. Les solutions sont comparées lors de la synthèse.

30 min·Petits groupes

Enseignement par les pairs: Le rapport de modélisation

Chaque binôme résout un problème complet (choix du modèle, expression, calculs, interprétation) et rédige un rapport structuré. Un autre binôme lit le rapport, pose des questions et évalue la clarté du raisonnement.

30 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• Comparer les forfaits de téléphone mobile : un forfait peut proposer un prix fixe mensuel plus un coût par minute (fonction affine), tandis qu'un autre peut offrir un prix au forfait dégressif selon le volume consommé (pouvant être modélisé par des fonctions affines ou par morceaux).
• Calculer le coût d'un trajet en taxi : le tarif est souvent composé d'une prise en charge fixe (ordonnée à l'origine) plus un prix par kilomètre parcouru (pente), ce qui correspond à une fonction affine.
• Analyser la consommation d'eau d'une piscine lors de son remplissage : le débit constant d'un tuyau d'arrosage modélise un remplissage linéaire (fonction linéaire), tandis que la gestion d'une réserve d'eau avec une consommation de base peut s'approcher d'une fonction affine.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présentez aux élèves deux situations : 1) Le coût d'un abonnement à une plateforme de streaming avec un prix mensuel fixe. 2) Le coût d'un trajet en train où le prix dépend de la distance parcourue. Demandez-leur d'identifier le type de fonction (linéaire ou affine) le plus adapté pour modéliser chaque situation et de justifier brièvement leur choix.

Billet de sortie

Donnez aux élèves le problème suivant : 'Un artisan fabrique des objets. Il a des frais fixes de 50€ par semaine et chaque objet lui coûte 5€ à produire. Combien coûteront 10 objets ?' Demandez-leur d'écrire la fonction qui modélise le coût hebdomadaire en fonction du nombre d'objets, puis de calculer le coût pour 10 objets.

Question de discussion

Proposez une situation où un modèle affine semble approprié (par exemple, la croissance d'une plante avec une hauteur initiale et une croissance quotidienne). Demandez aux élèves : 'Si nous observons que la plante a atteint 20 cm après 5 jours et 30 cm après 10 jours, quelle était sa hauteur initiale ?' Guidez la discussion pour qu'ils comprennent comment trouver l'antécédent ou comment utiliser deux points pour déterminer les paramètres de la fonction.

Questions fréquentes

Comment choisir entre un modèle linéaire et un modèle affine ?

Posez-vous la question : quand la variable vaut zéro, le résultat est-il nul aussi ? Si oui, le modèle est linéaire (f(x) = ax). Si non, il y a un terme constant (coût fixe, valeur initiale) et le modèle est affine (f(x) = ax + b). Le test f(0) = 0 ou non tranche la question.

Comment comparer deux tarifs avec des fonctions affines ?

Modélisez chaque tarif par une fonction affine, puis cherchez le point d'intersection en résolvant f(x) = g(x). Avant ce point, un tarif est moins cher ; après, c'est l'autre. La représentation graphique permet de visualiser rapidement le seuil de basculement.

Comment interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine dans un problème ?

La pente représente le coût unitaire, le taux de remplissage, la vitesse de variation. L'ordonnée à l'origine représente le coût fixe, la quantité initiale, le point de départ. Dans un contexte de facturation, a est le prix par unité et b est le forfait de base.

Pourquoi résoudre des problèmes en groupe améliore-t-il la modélisation ?

Comparer les modèles choisis par différents groupes pour la même situation révèle les critères de décision implicites. Les débats sur la pertinence du modèle (linéaire vs affine, domaine de validité) développent un regard critique que le travail individuel ne permet pas aussi efficacement.