Mathematik · Klasse 11

Ideen für aktives Lernen

Differenzierbarkeit von zusammengesetzten Funktionen

Diese Aktivität macht die abstrakte Theorie der Differenzierbarkeit an Nahtstellen durch haptische und visuelle Zugänge greifbar. Schülerinnen und Schüler arbeiten mit Graphen, Zahlen und eigenen Konstruktionen, um die Verbindung zwischen Stetigkeit und Ableitbarkeit zu verstehen. Das fördert ein tieferes Verständnis, als es reine Berechnungen allein könnten.

• KMK Bildungsstandards
• KMK: Sekundarstufe II - Analysis
• KMK: Sekundarstufe II - Argumentieren

• 20–45 Min.
• Partnerarbeit → Ganze Klasse
• 4 Aktivitäten

Aktivität 01

• Sokratisches Seminar
• 30 Min. · Partnerarbeit

Paararbeit: Nahtstellen prüfen

Paare erhalten abschnittsweise definierte Funktionen und skizzieren Graphen. Sie berechnen Funktionswerte, Grenzwerte und einseitige Ableitungen an Nahtstellen. Abschließend begründen sie Differenzierbarkeit oder Nicht-Differenzierbarkeit.

Begründen Sie die Bedingungen für die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer bestimmten Stelle.

Moderationstipp

Lassen Sie die Schülerinnen und Schüler in der Paararbeit die Graphen mit Bleistift skizzieren, um einseitige Ableitungen mit Steigungsdreiecken konkret zu markieren.

Worauf zu achten ist

Geben Sie jeder Schülerin und jedem Schüler eine Karte mit einer abschnittsweise definierten Funktion, z.B. f(x) = |x| oder eine ähnliche Funktion mit einer anderen Nahtstelle. Bitten Sie sie, zu begründen, ob die Funktion an der Nahtstelle stetig und/oder differenzierbar ist und warum.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Beziehungsfähigkeit

Aktivität 02

• Sokratisches Seminar
• 45 Min. · Kleingruppen

Gruppenkonstruktion: Stetig, nicht differenzierbar

Gruppen konstruieren eine Funktion mit Nahtstelle, die stetig, aber nicht differenzierbar ist. Sie definieren Stücke, zeichnen den Graphen und präsentieren Begründung. Klasse bewertet die Beispiele gemeinsam.

Analysieren Sie den Unterschied zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit an den Nahtstellen.

Moderationstipp

Fordern Sie bei der Gruppenkonstruktion explizit eine Skizze und eine formale Definition der Funktion ein, um präzises Arbeiten zu fördern.

Worauf zu achten ist

Zeigen Sie den Graphen einer abschnittsweise definierten Funktion, die an der Nahtstelle stetig, aber nicht differenzierbar ist. Stellen Sie die Frage: 'Beschreiben Sie mit eigenen Worten, warum die Ableitung an dieser Stelle nicht existiert, obwohl die Funktion stetig ist?'

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Beziehungsfähigkeit

Aktivität 03

• Sokratisches Seminar
• 20 Min. · Ganze Klasse

Whole-Class-Diskussion: Ableitungsvergleich

Lehrer zeigt Graphen mit Nahtstellen. Klasse nennt Kriterien für Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Gemeinsam analysieren sie einseitige Ableitungen und notieren Bedingungen an der Tafel.

Konstruieren Sie eine abschnittsweise definierte Funktion, die stetig, aber nicht differenzierbar ist.

Moderationstipp

Nutzen Sie in der Whole-Class-Diskussion gezielt die selbstgebauten Funktionen der Gruppen als Anschauungsmaterial für den Ableitungsvergleich.

Worauf zu achten ist

Teilen Sie die Klasse in Kleingruppen auf und geben Sie jeder Gruppe die Aufgabe, eine abschnittsweise definierte Funktion zu konstruieren, die an einer bestimmten Stelle stetig, aber nicht differenzierbar ist. Lassen Sie die Gruppen ihre Lösungen präsentieren und die Begründungen der anderen Gruppen kritisch hinterfragen.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Beziehungsfähigkeit

Aktivität 04

• Sokratisches Seminar
• 25 Min. · Einzelarbeit

Individualaufgabe: Eigene Funktion bauen

Jede Schülerin und jeder Schüler entwirft eine abschnittsweise Funktion mit gegebener Nahtstelle. Sie prüft Stetigkeit und Differenzierbarkeit rechnerisch und grafisch.

Begründen Sie die Bedingungen für die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer bestimmten Stelle.

Moderationstipp

Geben Sie in der Individualaufgabe eine Tabelle vor, in der die Lernenden Stetigkeit und Differenzierbarkeit systematisch abhaken können.

Worauf zu achten ist

Geben Sie jeder Schülerin und jedem Schüler eine Karte mit einer abschnittsweise definierten Funktion, z.B. f(x) = |x| oder eine ähnliche Funktion mit einer anderen Nahtstelle. Bitten Sie sie, zu begründen, ob die Funktion an der Nahtstelle stetig und/oder differenzierbar ist und warum.

• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Beziehungsfähigkeit

Einige Hinweise zum Unterrichten dieser Einheit

Erfahrene Lehrkräfte starten mit konkreten Beispielen und lassen die Schülerinnen und Schüler zunächst intuitiv entscheiden, bevor sie die formalen Kriterien einführen. Vermeiden Sie es, die Theorie vorwegzunehmen, da dies zu oberflächlichem Auswendiglernen führt. Stattdessen fördern Sie das eigenständige Entdecken durch gezielte Fragen wie 'Wo könnte die Ableitung fehlen?' und lassen Sie Widersprüche durch Gegenbeispiele klären. Die Betragsfunktion und ähnliche Standardbeispiele sollten immer präsent sein, um das Verständnis zu verankern.

Am Ende können die Lernenden zu jeder Nahtstelle einer abschnittsweise definierten Funktion korrekt prüfen, ob Stetigkeit vorliegt, und bei Stetigkeit die Differenzierbarkeit durch Vergleich der einseitigen Ableitungen begründen. Sie erkennen Ecken und Knicke im Graphen als Hinweis auf fehlende Differenzierbarkeit und nutzen präzise Fachsprache.

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Vorsicht vor diesen Fehlvorstellungen

• Während der Paararbeit mit Graphenskizzen achten Sie darauf, dass einige Lernende Stetigkeit bereits für Differenzierbarkeit halten.

  Fordern Sie die Paare auf, explizit die einseitigen Ableitungen zu berechnen und zu vergleichen. Nutzen Sie die Betragsfunktion als Referenzbeispiel, um zu zeigen, dass gleiche Grenzwerte allein nicht ausreichen.

• Während der Gruppenkonstruktion von stetigen, nicht differenzierbaren Funktionen könnte der Eindruck entstehen, dass jede Nahtstelle automatisch eine fehlende Differenzierbarkeit nach sich zieht.

  Lassen Sie die Gruppen ihre Konstruktionen gegenseitig präsentieren und gezielt nachfragen, warum ihre Funktion trotz Stetigkeit nicht überall differenzierbar ist. Betonen Sie, dass die Ableitungen an der Nahtstelle übereinstimmen müssen.

• Während der Whole-Class-Diskussion über den Ableitungsvergleich könnte die Annahme entstehen, dass Grenzwerte der Funktion allein die Differenzierbarkeit sichern.

  Zeigen Sie an den Graphen der selbstgebauten Funktionen, dass die Ableitungsgrenzwerte separat betrachtet werden müssen. Nutzen Sie dazu die Steigungsdreiecke aus der Paararbeit als visuelle Unterstützung.

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In dieser Übersicht verwendete Methoden

• Sokratisches Seminar