Mathematik · Klasse 10

Ideen für aktives Lernen

Zufallsgrößen und Erwartungswert

Aktives Handeln macht die abstrakte Idee des Erwartungswerts greifbar, weil Schülerinnen und Schüler durch eigene Experimente die Differenz zwischen kurzfristiger Zufälligkeit und langfristiger Stabilität erleben. Diese Erfahrung überzeugt mehr als theoretische Erklärungen, da sie direkt die Bedeutung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und fairen Spielen erkennen lassen.

• KMK Bildungsstandards
• KMK.MA.STO.10.5
• KMK.MA.STO.10.6

• 20–50 Min.
• Partnerarbeit → Ganze Klasse
• 4 Aktivitäten

Aktivität 01

• Planspiel
• 45 Min. · Kleingruppen

Stationenrotation: Zufallsspiele testen

Richten Sie vier Stationen ein: Würfelpaar für Summen, Münzwurf-Serien, Kartenziehen mit Gewinnen, Roulettemodell mit Farben. Gruppen rotieren alle 10 Minuten, führen 20 Versuche durch und notieren Häufigkeiten. Abschließend vergleichen sie empirische Mittel mit berechneten Erwartungswerten.

Was bedeutet ein Erwartungswert von Null für ein Glücksspiel?

Moderationstipp

Bitten Sie die Schülerinnen und Schüler während der Stationenrotation, ihre Ergebnisse auf Plakaten festzuhalten und die Abweichungen zum berechneten Erwartungswert zu markieren.

Worauf zu achten ist

Geben Sie den Schülerinnen und Schülern eine Tabelle mit den Ergebnissen eines Würfelspiels (z.B. Augenzahl und zugehöriger Gewinn/Verlust). Lassen Sie sie den Erwartungswert berechnen und begründen, ob das Spiel fair ist. Fragen Sie: 'Welchen Gewinn/Verlust erwarten Sie im Durchschnitt nach 100 Spielen?'

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 02

• Planspiel
• 30 Min. · Partnerarbeit

Paararbeit: Eigenes Gewinnspiel entwerfen

In Paaren erfinden Schüler ein einfaches Spiel mit Zufallsvariablen, berechnen den Erwartungswert und den fairen Einsatz. Sie testen es gegenseitig mit 50 Zügen und diskutieren Abweichungen. Präsentation der besten Spiele im Plenum.

Wie berechnet man den fairen Preis für ein Risiko-Szenario?

Moderationstipp

Fordern Sie die Paare beim Entwerfen ihres Gewinnspiels auf, den Erwartungswert vorab zu berechnen und die Fairness zu begründen, bevor sie es testen.

Worauf zu achten ist

Legen Sie ein Szenario vor: 'Ein Los kostet 2 Euro. Mit 10% Wahrscheinlichkeit gewinnt man 15 Euro, mit 90% Wahrscheinlichkeit gewinnt man nichts.' Die Schülerinnen und Schüler berechnen den Erwartungswert des Gewinns und entscheiden, ob es sich lohnt, das Los zu kaufen. Sie schreiben ihre Antwort und eine kurze Begründung auf einen Zettel.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 03

• Planspiel
• 50 Min. · Ganze Klasse

Klassenweite Simulation: Lotterie-Runde

Die Klasse simuliert eine Lotterie mit Lose ziehen; jeder Schüler notiert seinen Gewinn über 100 Runden in Teams. Gemeinsam plotten sie Mittelwerte pro Rundenanzahl und beobachten Annäherung ans Erwartungswert.

Warum weicht das tatsächliche Ergebnis oft stark vom Erwartungswert ab und welche Rolle spielt die Stichprobengröße?

Moderationstipp

Nutzen Sie die Lotterie-Runde, um explizit zu thematisieren, wie sich der Erwartungswert bei steigender Versuchszahl entwickelt und warum einzelne Ergebnisse davon abweichen können.

Worauf zu achten ist

Stellen Sie die Frage: 'Warum weicht das Ergebnis eines einzelnen Glücksspiels oft stark vom Erwartungswert ab, während viele Spiele diesen Wert annähern?' Leiten Sie eine Diskussion, die die Rolle der Zufälligkeit bei einzelnen Ereignissen und die Konvergenz bei großen Stichproben betont.

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Entscheidungsfähigkeit

Aktivität 04

• Planspiel
• 20 Min. · Einzelarbeit

Individuell: Risiko-Rechnung

Jeder Schüler modelliert ein reales Risiko, z. B. Versicherung, berechnet Erwartungswert und fairen Preis. Mit Excel oder Taschenrechner simuliert er 1000 Züge und reflektiert Stichproben-Effekte.

Was bedeutet ein Erwartungswert von Null für ein Glücksspiel?

Worauf zu achten ist

Geben Sie den Schülerinnen und Schülern eine Tabelle mit den Ergebnissen eines Würfelspiels (z.B. Augenzahl und zugehöriger Gewinn/Verlust). Lassen Sie sie den Erwartungswert berechnen und begründen, ob das Spiel fair ist. Fragen Sie: 'Welchen Gewinn/Verlust erwarten Sie im Durchschnitt nach 100 Spielen?'

• Anwenden
• Analysieren
• Bewerten
• Erschaffen
• Sozialbewusstsein
• Entscheidungsfähigkeit

Einige Hinweise zum Unterrichten dieser Einheit

Erfahrene Lehrkräfte beginnen mit einfachen, wiederholbaren Zufallsexperimenten wie Würfel- oder Münzwürfen, um das Konzept des Erwartungswerts schrittweise aufzubauen. Sie legen Wert auf die Unterscheidung zwischen Einzelereignis und langfristigem Durchschnitt und vermeiden es, den Erwartungswert als 'vorhersehbares Ergebnis' zu formulieren. Visualisierungen wie Histogramme der Simulationsergebnisse helfen, die Streuung zu veranschaulichen und das Gesetz der großen Zahlen erfahrbar zu machen.

Erfolgreiches Lernen zeigt sich, wenn Schülerinnen und Schüler Zufallsgrößen korrekt definieren, Wahrscheinlichkeiten zuweisen und den Erwartungswert als langfristigen Durchschnitt interpretieren können. Sie nutzen Simulationen, um die Konvergenz zum Erwartungswert zu erkennen und Fairness von Spielen zu beurteilen.

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Vorsicht vor diesen Fehlvorstellungen

• Während der Stationenrotation beobachten Sie, wie Schülerinnen und Schüler den Erwartungswert als nächstes Ergebnis interpretieren.

  Nutzen Sie die protokollierten Ergebnisse der Stationenrotation, um gemeinsam zu diskutieren, warum einzelne Versuche stark vom Erwartungswert abweichen und wie sich das bei vielen Wiederholungen ausgleicht.

• Bei der Paararbeit zum Entwerfen eines Gewinnspiels fällt auf, dass Schülerinnen und Schüler Erwartungswert Null mit einer symmetrischen Gewinn-Verlust-Verteilung gleichsetzen.

  Lassen Sie die Paare ihre Gewinnspiele präsentieren und vergleichen Sie die tatsächlichen Auszahlungen: Visualisieren Sie die Verteilung auf dem Whiteboard und zeigen Sie, dass asymmetrische Gewinne trotz Erwartungswert Null möglich sind.

• Während der Klassen-Simulation zur Lotterie-Runde äußern Schülerinnen und Schüler, dass mehr Versuche automatisch zu einem genauen Erwartungswert führen.

  Führen Sie nach den Simulationen eine gemeinsame Auswertung durch und zeichnen Sie die Entwicklung der kumulativen Gewinne im Diagramm ein: Zeigen Sie, dass die Streuung zwar abnimmt, aber nie verschwindet.

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In dieser Übersicht verwendete Methoden

• Planspiel