Wiskunde · Klas 1 VWO · De Kracht van Getallen · Periode 1

Negatieve Getallen: Optellen en Aftrekken

Leerlingen oefenen met het optellen en aftrekken van negatieve getallen, zowel met als zonder getallenlijn.

• SLO Kerndoelen en Eindtermen
• SLO: Voortgezet - Getallen en bewerkingen
• SLO: Voortgezet - Rekenen

Over dit onderwerp

De rekenvolgorde is de grammatica van de wiskunde. Zonder deze universele afspraken zou een eenvoudige som als 2 + 3 x 4 leiden tot verschillende antwoorden, wat chaos zou veroorzaken in de techniek en handel. In de eerste klas van het VWO leggen we de nadruk op het systematisch toepassen van de hiërarchie: haakjes, machtsverheffen en worteltrekken, vermenigvuldigen en delen, en tot slot optellen en aftrekken. Dit sluit aan bij de SLO-eisen voor rekenvaardigheid en logisch redeneren.

Het begrijpen van de 'waarom' achter deze regels is belangrijker dan het simpelweg uit het hoofd leren van een ezelsbruggetje. Leerlingen moeten inzien dat deze regels een structuur bieden die wereldwijd hetzelfde is. Dit onderwerp leent zich uitstekend voor samenwerkend leren, waarbij leerlingen elkaars tussenstappen controleren en debatteren over de juiste aanpak van complexe expressies.

Kernvragen

1. Verklaar waarom het aftrekken van een negatief getal resulteert in een optelling.
2. Analyseer de impact van de volgorde van bewerkingen bij het combineren van positieve en negatieve getallen.
3. Voorspel de uitkomst van complexe bewerkingen met negatieve getallen zonder direct te rekenen.

Leerdoelen

• Bereken de uitkomst van optellingen en aftrekkingen met positieve en negatieve gehele getallen, met en zonder behulp van een getallenlijn.
• Verklaar de regel 'min keer min is plus' en 'min keer plus is min' bij het vermenigvuldigen van getallen.
• Analyseer de volgorde van bewerkingen in expressies met positieve en negatieve getallen en bepaal de correcte oplossingsstappen.
• Demonstreer de toepassing van negatieve getallen in een praktisch scenario, zoals temperatuurveranderingen of financiële transacties.

Voordat je begint

Getallenlijn en Positieve Getallen

Waarom: Leerlingen moeten bekend zijn met het concept van een getallenlijn en het plaatsen en vergelijken van positieve gehele getallen.

Basisoptellen en Aftrekken

Waarom: Een solide basis in het optellen en aftrekken van positieve gehele getallen is essentieel voordat negatieve getallen worden geïntroduceerd.

Kernbegrippen

Negatief getal	Een getal kleiner dan nul, weergegeven met een minteken (-). Het staat links van nul op de getallenlijn.
Positief getal	Een getal groter dan nul, weergegeven met een plusteken (+) of zonder teken. Het staat rechts van nul op de getallenlijn.
Getallenlijn	Een visuele weergave van getallen, waarbij nul in het midden staat en positieve getallen naar rechts en negatieve getallen naar links lopen.
Tegenovergestelde	Twee getallen die even ver van nul liggen, maar aan verschillende kanten. Het tegenovergestelde van 5 is -5, en het tegenovergestelde van -3 is 3.

Pas op voor deze misvattingen

Veelvoorkomende misvatting

Denken dat vermenigvuldigen altijd vóór delen komt omdat het in het ezelsbruggetje eerder staat.

Wat je in plaats daarvan kunt onderwijzen

Leg uit dat vermenigvuldigen en delen gelijkwaardig zijn en van links naar rechts worden uitgevoerd. Gebruik een 'touwtrek-simulatie' waarbij beide bewerkingen even sterk zijn.

Veelvoorkomende misvatting

Vergeten dat de hele teller of noemer van een breukstreep als 'tussen haakjes' gezien moet worden.

Wat je in plaats daarvan kunt onderwijzen

Laat leerlingen breukstrepen fysiek omcirkelen als een groepje. Door samen sommen te ontleden, leren ze deze impliciete haakjes herkennen.

Ideeën voor actief leren

Formeel debat: De Betwiste Som

Presenteer een som die op sociale media vaak viraal gaat. Verdeel de klas in groepen die verschillende antwoorden verdedigen en laat ze op basis van de rekenregels bewijzen waarom hun logica klopt.

25 min·Kleine groepjes

Circuitmodel: De Rekenfabriek

Richt stations in waar leerlingen telkens één stap van een lange berekening uitvoeren. De volgende groep moet de fout van de vorige groep vinden of de volgende juiste stap zetten.

40 min·Kleine groepjes

Peer Teaching: Maak je eigen Puzzel

Leerlingen ontwerpen een complexe som waarbij het antwoord precies 100 moet zijn. Ze wisselen deze uit en moeten van elkaar controleren of de rekenvolgorde correct is toegepast.

20 min·Duo's

Verbinding met de Echte Wereld

• In de meteorologie worden negatieve getallen gebruikt om temperaturen onder het vriespunt aan te geven. Een weerman in Siberië kan bijvoorbeeld -20 graden Celsius rapporteren, wat aangeeft dat de temperatuur 20 graden onder nul is.
• Bij banktransacties kan een negatief getal een schuld of een opname van geld vertegenwoordigen. Als je saldo €50 is en je neemt €75 op, dan is je nieuwe saldo -€25, wat betekent dat je €25 rood staat.

Toetsideeën

Uitgangskaart

Geef leerlingen een kaartje met de som: -5 + 8 - (-3). Vraag hen de uitkomst te berekenen en één zin op te schrijven waarin ze uitleggen waarom het aftrekken van -3 hetzelfde is als het optellen van 3.

Snelle Controle

Stel de vraag: 'Als de temperatuur vanochtend 2 graden Celsius was en 's middags daalde met 5 graden, wat is dan de nieuwe temperatuur?' Vraag leerlingen hun antwoord te noteren en kort te laten zien hoe ze tot de oplossing kwamen met behulp van een getallenlijn.

Discussievraag

Leg de volgende twee berekeningen voor: A: 10 - 4 + 2 en B: 10 - (4 + 2). Vraag leerlingen in kleine groepen te bespreken of de uitkomsten hetzelfde zijn en waarom. Laat ze de rol van haakjes en de volgorde van bewerkingen benadrukken.

Veelgestelde vragen

Waarom is de rekenvolgorde veranderd in de loop der jaren?

De regels zelf zijn niet veranderd, maar de didactiek wel. Vroeger gebruikten we 'Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord', maar tegenwoordig leren we dat vermenigvuldigen/delen en optellen/aftrekken gelijkwaardig zijn om fouten bij de links-naar-rechts regel te voorkomen.

Hoe kan ik leerlingen motiveren voor dit droge onderwerp?

Koppel het aan programmeren of Excel. Computers volgen de rekenvolgorde strikt op. Laat leerlingen zien dat een verkeerde volgorde in een code kan leiden tot het crashen van een game of een verkeerde banktransactie.

Wat is de beste manier om de rekenvolgorde aan te leren?

Actieve werkvormen waarbij leerlingen tussenstappen opschrijven en aan elkaar uitleggen werken het best. Door hardop te redeneren (think-aloud), worden de hiërarchische stappen een automatisme in plaats van een trucje.

Moeten leerlingen haakjes altijd als eerste wegwerken?

Ja, haakjes geven prioriteit aan een deel van de berekening. Het is essentieel dat leerlingen leren dat wat binnen de haakjes staat als een op zichzelf staande som moet worden behandeld voordat ze verder gaan.