Mathématiques · Terminale · Analyse : Suites et Fonctions Continues · 1er Trimestre

Dérivée d'une fonction composée (Règle de la chaîne)

Les élèves appliquent la règle de la chaîne pour calculer des dérivées de fonctions complexes.

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• EDNAT: MAT.TLE.13
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À propos de ce thème

La règle de la chaîne est la clé de voûte de la dérivation des fonctions composées. En Terminale, les élèves apprennent que si h(x) = g(f(x)), alors h'(x) = g'(f(x)) · f'(x). Cette formule traduit l'idée que la vitesse de variation de la composée est le produit de la vitesse de la fonction extérieure (évaluée au point intermédiaire) par la vitesse de la fonction intérieure.

Le cas particulier (u^n)' = n·u'·u^(n-1) est le plus fréquemment utilisé au baccalauréat. Les élèves doivent aussi maîtriser les compositions avec exp, ln, sin, cos : (e^u)' = u'·e^u, (ln(u))' = u'/u, (sin(u))' = u'·cos(u). Le programme de l'Éducation nationale insiste sur la capacité à simplifier l'expression obtenue pour en étudier le signe. L'apprentissage actif est particulièrement pertinent car identifier la fonction intérieure et extérieure dans une expression est un choix stratégique que le débat entre élèves enrichit.

Questions clés

1. Comment la vitesse de variation de la fonction interne impacte-t-elle la dérivée globale?
2. Pourquoi la formule (u^n)' = n u' u^(n-1) est-elle un cas particulier de composition?
3. Comment simplifier l'expression d'une dérivée pour en étudier le signe?

Objectifs d'apprentissage

• Calculer la dérivée de fonctions composées en appliquant la règle de la chaîne.
• Identifier la fonction intérieure et la fonction extérieure dans une expression donnée pour appliquer la règle de la chaîne.
• Simplifier l'expression de la dérivée d'une fonction composée pour en étudier le signe.
• Expliquer pourquoi la formule (u^n)' = n u' u^(n-1) est un cas particulier de la règle de la chaîne.
• Analyser l'impact de la dérivée de la fonction interne sur la dérivée de la fonction composée.

Avant de commencer

Dérivation des fonctions usuelles

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la dérivation des fonctions de base (polynômes, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus) pour pouvoir dériver les fonctions intérieure et extérieure.

Notion de fonction

Pourquoi : Une compréhension solide de ce qu'est une fonction et de sa représentation est nécessaire pour appréhender la notion de composition de fonctions.

Vocabulaire clé

Fonction composée	Une fonction obtenue en appliquant une fonction puis une autre fonction au résultat. Elle s'écrit sous la forme h(x) = g(f(x)).
Règle de la chaîne	Formule permettant de dériver une fonction composée : si h(x) = g(f(x)), alors h'(x) = g'(f(x)) · f'(x).
Fonction intérieure	Dans une fonction composée h(x) = g(f(x)), c'est la fonction f(x) qui est appliquée en premier.
Fonction extérieure	Dans une fonction composée h(x) = g(f(x)), c'est la fonction g(u) qui est appliquée en second, où u = f(x).

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Pour dériver sin(3x), on obtient cos(3x) sans multiplier par 3.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La règle de la chaîne impose de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure : (sin(3x))' = 3·cos(3x). Oublier le facteur u' est l'erreur la plus courante. Un exercice en binôme où l'un dérive et l'autre vérifie par la définition (taux de variation) installe le réflexe.

Idée reçue courante

La dérivée de (2x+1)^5 est 5(2x+1)^4.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Il manque le facteur u' = 2. La dérivée correcte est 10(2x+1)^4. Cette erreur vient d'une application mécanique de (x^n)' = nx^(n-1) sans tenir compte de la composition. Le schéma visuel de la chaîne (fonction extérieure -> évaluation -> multiplication par u') aide à ne rien oublier.

Idée reçue courante

On peut dériver couche par couche de façon additive : la dérivée de g(f(x)) est g'(x) + f'(x).

Ce qu'il faut enseigner à la place

La règle de la chaîne est multiplicative, pas additive : (g(f(x)))' = g'(f(x)) · f'(x). La métaphore des engrenages (la vitesse se multiplie d'une roue à l'autre) rend le caractère multiplicatif très intuitif en discussion de groupe.

Idées d'apprentissage actif

Penser-Partager-Présenter: Identifier u et g

Chaque élève reçoit une fonction composée et identifie la fonction intérieure u et la fonction extérieure g. En binôme, ils comparent leurs décompositions (parfois différentes mais valides) et calculent la dérivée. Discussion sur le choix le plus efficace.

20 min·Binômes

Rotation par ateliers: Les familles de compositions

Quatre stations, chacune dédiée à un type : (1) (u^n)', (2) e^u, (3) ln(u), (4) sin(u) et cos(u). À chaque station, les élèves résolvent trois exercices de difficulté croissante. Rotation toutes les 8 minutes.

35 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Double composition

Les groupes reçoivent des fonctions doublement composées (par exemple sin(e^(x²))). Ils doivent appliquer la règle de la chaîne deux fois, identifier les trois couches, et vérifier le résultat. Présentation au tableau avec schéma de la chaîne.

25 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• En ingénierie, pour modéliser la déformation d'un matériau sous l'effet de contraintes variables, on utilise des fonctions composées. La règle de la chaîne permet de calculer la vitesse de changement de cette déformation par rapport à différents paramètres.
• En économie, l'analyse de la sensibilité d'un prix (P) en fonction de la demande (D) et de la demande en fonction du temps (t) utilise la règle de la chaîne pour déterminer comment le prix évolue globalement avec le temps (dP/dt = dP/dD * dD/dt).

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Donnez aux élèves l'expression d'une fonction composée, par exemple h(x) = sin(x^2 + 3x). Demandez-leur d'identifier la fonction intérieure et la fonction extérieure, puis d'écrire la formule de la dérivée sans la calculer complètement.

Billet de sortie

Sur un petit papier, demandez aux élèves de calculer la dérivée de h(x) = (2x + 1)^3 en utilisant la règle de la chaîne et de simplifier le résultat. Ils doivent montrer les étapes d'identification de u et u'.

Question de discussion

Proposez l'énoncé suivant : 'La formule (u^n)' = n u' u^(n-1) est-elle juste un cas particulier de la règle de la chaîne ?' Demandez aux élèves de justifier leur réponse en explicitant la fonction extérieure et intérieure.

Questions fréquentes

Comment appliquer la règle de la chaîne en Terminale ?

Trois étapes : (1) identifier la fonction intérieure u(x) et la fonction extérieure g, (2) dériver g en l'évaluant en u(x), (3) multiplier par u'(x). Exemple : pour e^(x²), u(x) = x² et g = exp. On obtient g'(u) = e^u, donc la dérivée est e^(x²) · 2x. Ne jamais oublier le facteur u'(x).

Pourquoi dit-on règle de la chaîne ?

Le nom vient de l'image d'une chaîne de fonctions enchaînées. Chaque maillon (fonction) transmet sa vitesse de variation au suivant. Si f varie k fois plus vite que x, et g varie m fois plus vite que f, alors g(f(x)) varie k·m fois plus vite que x. C'est pourquoi les dérivées se multiplient le long de la chaîne.

Comment dériver une fonction avec deux compositions imbriquées ?

On applique la règle de la chaîne deux fois. Pour sin(e^(x²)) : la couche extérieure est sin, la couche médiane est exp, la couche intérieure est x². La dérivée est cos(e^(x²)) · e^(x²) · 2x. On multiplie les dérivées de chaque couche, chacune évaluée à la bonne valeur intermédiaire.

Quelle activité active pour enseigner la règle de la chaîne ?

La rotation par stations fonctionne très bien : une station par famille (puissances, exp, ln, trigo). Les élèves pratiquent intensément chaque type, puis tournent. La difficulté croissante à chaque station (simple, double, triple composition) installe progressivement le réflexe. La discussion en groupe sur le choix de u et g développe le sens stratégique.