Dérivée d'une fonction composée (Règle de la chaîne)

La règle de la chaîne repose sur une intuition visuelle et mécanique difficile à saisir par un exposé théorique seul. Les élèves mémorisent mieux cette notion en manipulant des expressions concrètes, en identifiant visuellement les couches de la fonction composée, puis en reformulant la règle avec leurs propres mots. L'apprentissage actif permet de transformer une formule abstraite en une procédure claire et applicable immédiatement.

• Terminale
• Mathématiques : Vers l\\
• 3 activités
• 20 min–35 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer la dérivée de fonctions composées en appliquant la règle de la chaîne.
2. Identifier la fonction intérieure et la fonction extérieure dans une expression donnée pour appliquer la règle de la chaîne.
3. Simplifier l'expression de la dérivée d'une fonction composée pour en étudier le signe.
4. Expliquer pourquoi la formule (u^n)' = n u' u^(n-1) est un cas particulier de la règle de la chaîne.
5. Analyser l'impact de la dérivée de la fonction interne sur la dérivée de la fonction composée.

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Identifier u et g

Chaque élève reçoit une fonction composée et identifie la fonction intérieure u et la fonction extérieure g. En binôme, ils comparent leurs décompositions (parfois différentes mais valides) et calculent la dérivée. Discussion sur le choix le plus efficace.

Préparation et détails

Comment la vitesse de variation de la fonction interne impacte-t-elle la dérivée globale?

Conseil de facilitation: During Think-Pair-Share : 'Identifiez u et g', circulez entre les binômes pour écouter leurs échanges et notez au tableau les formulations qui fonctionnent le mieux pour les partager ensuite avec la classe.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Rotation par ateliers

⏱ 35 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Les familles de compositions

Quatre stations, chacune dédiée à un type : (1) (u^n)', (2) e^u, (3) ln(u), (4) sin(u) et cos(u). À chaque station, les élèves résolvent trois exercices de difficulté croissante. Rotation toutes les 8 minutes.

Préparation et détails

Pourquoi la formule (u^n)' = n u' u^(n-1) est-elle un cas particulier de composition?

Conseil de facilitation: During Station Rotation : 'Les familles de compositions', placez à chaque station des exemples variés mais similaires (comme (ax+b)^n ou sin(ax+b)) pour faire émerger la régularité des calculs et renforcer la mémorisation.

Setup: Tables ou bureaux organisés en 4 à 6 pôles distincts dans la salle

Materials: Fiches de consignes par station, Matériel spécifique à chaque activité, Minuteur pour les rotations

• Mémoriser
• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Cercle de recherche

⏱ 25 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Double composition

Les groupes reçoivent des fonctions doublement composées (par exemple sin(e^(x²))). Ils doivent appliquer la règle de la chaîne deux fois, identifier les trois couches, et vérifier le résultat. Présentation au tableau avec schéma de la chaîne.

Préparation et détails

Comment simplifier l'expression d'une dérivée pour en étudier le signe?

Conseil de facilitation: During Collaborative Investigation : 'Double composition', donnez aux groupes des fonctions à deux compositions imbriquées (comme sin(cos(x))) et demandez-leur de schématiser les étapes avant de calculer pour ancrer la méthode.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples numériques simples où la fonction intérieure est linéaire (comme h(x) = (3x+2)^2) pour que la dérivée intérieure soit immédiate. Évitez de présenter la formule générale trop tôt : faites découvrir la règle par l'observation répétée de cas particuliers. Insistez sur l'ordre des opérations : identifier u, calculer u', puis appliquer g'(u) · u'. Cette progressivité limite les erreurs de calcul et de compréhension.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, les élèves identifient sans hésitation la fonction intérieure et extérieure dans toute expression composée, appliquent correctement la règle de la chaîne en écrivant chaque étape, et expliquent à voix haute pourquoi la multiplication par la dérivée intérieure est indispensable. Leur travail montre qu'ils ont intégré le caractère multiplicatif et composite de la dérivation.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During Think-Pair-Share : 'Identifier u et g', watch for students who omit the multiplication by u' when writing the derivative of sin(3x).

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez à l'élève de réécrire la dérivée en utilisant d'abord la définition par taux de variation : comparez [sin(3(x+h)) - sin(3x)] / h avec [sin(u+h) - sin(u)] / h pour faire apparaître le facteur 3 dans le numérateur.

Idée reçue courante

During Station Rotation : 'Les familles de compositions', watch for students who write the derivative of (2x+1)^5 as 5(2x+1)^4 without the factor 10.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez-leur de souligner la fonction intérieure (2x+1) et d'écrire explicitement u' = 2 à côté avant de multiplier. Utilisez le schéma visuel affiché en station pour guider leur regard.

Idée reçue courante

During Collaborative Investigation : 'Double composition', watch for students who add the derivatives instead of multiplying them in the expression like (sin(cos(x)))'.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Faites dessiner aux élèves deux engrenages côte à côte et demandez-leur de simuler la transmission de vitesse entre eux. Montrez que la vitesse de sortie est le produit des vitesses intermédiaires, pas la somme.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After Think-Pair-Share : 'Identifier u et g', collectez les réponses des binômes sur une ardoise ou un document partagé. Vérifiez que chaque paire a correctement identifié u(x) = x^2 + 3x et g(u) = sin(u) pour h(x) = sin(x^2 + 3x) et écrit la formule h'(x) = g'(u) · u'(x) sans calculer.

Billet de sortie

After Station Rotation : 'Les familles de compositions', demandez aux élèves de rendre une feuille avec le calcul de la dérivée de h(x) = (2x + 1)^3 en montrant chaque étape : identification de u, calcul de u', puis application de la règle. Ramassez les feuilles en quittant la classe pour analyser les erreurs fréquentes.

Question de discussion

During Collaborative Investigation : 'Double composition', lancez un débat en demandant : 'La formule (u^n)' = n u' u^(n-1) est-elle un cas particulier de la règle de la chaîne ?' Écoutez les arguments des groupes et notez au tableau les exemples qu'ils avancent pour valider ou invalider la proposition.

Extensions et étayage

• Challenge : Proposez aux élèves rapides des fonctions à trois compositions imbriquées, comme h(x) = ln(sin(cos(x))), et demandez-leur de calculer la dérivée étape par étape en justifiant chaque choix de u et u'.
• Scaffolding : Pour les élèves en difficulté, fournissez un schéma à trous où ils doivent compléter les étapes : 'h(x) = g(f(x)) donc h'(x) = ... · ...'.
• Deeper : Invitez les élèves à créer un poster visuel de la règle de la chaîne avec une analogie mécanique (engrenages, poupées russes) et présentez-le à la classe.

Vocabulaire clé

Fonction composée	Une fonction obtenue en appliquant une fonction puis une autre fonction au résultat. Elle s'écrit sous la forme h(x) = g(f(x)).
Règle de la chaîne	Formule permettant de dériver une fonction composée : si h(x) = g(f(x)), alors h'(x) = g'(f(x)) · f'(x).
Fonction intérieure	Dans une fonction composée h(x) = g(f(x)), c'est la fonction f(x) qui est appliquée en premier.
Fonction extérieure	Dans une fonction composée h(x) = g(f(x)), c'est la fonction g(u) qui est appliquée en second, où u = f(x).