Mathématiques · CM2 · Géométrie : Formes, Mesures et Espace · 2e Trimestre

Perpendicularité et parallélisme

Les élèves reconnaissent et tracent des droites perpendiculaires et parallèles, en utilisant l'équerre et la règle.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 3 - Espace et géométrie

À propos de ce thème

La perpendicularité et le parallélisme sont deux relations fondamentales entre droites, au coeur du programme de géométrie du Cycle 3. Au CM2, les élèves doivent savoir reconnaître, nommer et tracer des droites perpendiculaires et parallèles à l'aide de l'équerre et de la règle. Ces compétences sont mobilisées dans la construction de figures géométriques et dans la description de l'espace.

La distinction entre ces deux notions repose sur l'angle : deux droites perpendiculaires forment un angle droit, tandis que deux droites parallèles gardent toujours le même écartement et ne se coupent jamais. L'équerre est l'outil de vérification privilégié pour la perpendicularité, tandis que la règle et l'équerre combinées permettent de tracer des parallèles par la méthode du glissement.

Les constructions collaboratives, où les élèves doivent reproduire une figure en suivant un programme de construction, mobilisent ces compétences dans un contexte de communication mathématique. Quand un élève doit dicter à un camarade 'trace une droite perpendiculaire à (d) passant par le point A', il maîtrise à la fois le vocabulaire et le geste technique.

Questions clés

1. Comment peut-on vérifier si deux droites sont perpendiculaires ou parallèles ?
2. Expliquez l'importance de la perpendicularité dans la construction de figures géométriques.
3. Justifiez pourquoi deux droites parallèles ne se rencontrent jamais, même si elles sont prolongées.

Objectifs d'apprentissage

• Comparer la relation entre deux droites données en utilisant le vocabulaire de la perpendicularité et du parallélisme.
• Tracer avec précision des droites perpendiculaires et parallèles à une droite donnée, en utilisant l'équerre et la règle.
• Expliquer, à l'aide de l'équerre, pourquoi deux droites sont perpendiculaires.
• Démontrer, par le tracé, pourquoi deux droites tracées avec la méthode du glissement de l'équerre sont parallèles.
• Identifier des exemples de perpendicularité et de parallélisme dans des figures géométriques complexes.

Avant de commencer

Reconnaître et tracer des droites

Pourquoi : Les élèves doivent d'abord savoir ce qu'est une droite et comment la tracer avant de pouvoir étudier leurs relations.

Identifier et tracer un angle droit

Pourquoi : La notion d'angle droit est le fondement de la perpendicularité, il est donc essentiel de la maîtriser.

Vocabulaire clé

Droite perpendiculaire	Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit (90 degrés). L'équerre permet de vérifier cette relation.
Droite parallèle	Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, quelle que soit leur longueur. Elles gardent toujours la même distance entre elles.
Angle droit	Un angle de 90 degrés, formé par l'intersection de deux droites perpendiculaires. L'équerre possède un angle droit.
Équerre	Outil de géométrie, souvent en forme de triangle rectangle, utilisé pour tracer ou vérifier des angles droits et, par extension, des droites perpendiculaires et parallèles.
Règle	Outil de géométrie servant à tracer des droites et à mesurer des longueurs. Elle est utilisée avec l'équerre pour tracer des parallèles.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Juger de la perpendicularité ou du parallélisme à vue, sans utiliser l'équerre.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'apparence peut tromper, surtout quand les droites sont obliques. Imposer systématiquement la vérification à l'équerre, même quand 'ça se voit', développe la rigueur géométrique. Le travail en binôme avec vérification croisée renforce cette habitude.

Idée reçue courante

Croire que deux droites qui ne se coupent pas sur la feuille sont forcément parallèles.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Deux droites peuvent ne pas se couper sur la portion visible mais se rencontrer si on les prolonge. Seules les droites qui gardent un écartement constant sont parallèles. Faire prolonger des droites au-delà de la feuille (sur une grande feuille ou au sol) aide à comprendre cette distinction.

Idée reçue courante

Penser que la perpendicularité ne concerne que les droites horizontales et verticales.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Deux droites obliques peuvent être perpendiculaires si elles forment un angle droit. Proposer des configurations variées (droites obliques, inclinées) et faire vérifier à l'équerre en groupe habitue les élèves à reconnaître la perpendicularité dans toutes les orientations.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: La Chasse aux Droites

En groupes, les élèves partent à la recherche de droites perpendiculaires et parallèles dans la classe et la cour. Ils photographient ou dessinent leurs trouvailles, puis les classent dans un tableau à deux colonnes. Mise en commun pour discuter des cas ambigus.

30 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Perpendiculaire ou Parallèle ?

L'enseignant projette des figures avec des droites et demande aux élèves d'identifier les relations. Chaque élève répond seul, puis confronte sa réponse avec son voisin. Les désaccords sont résolus en utilisant l'équerre sur l'image projetée ou sur une reproduction papier.

15 min·Binômes

Rotation par ateliers: Tracer et Vérifier

Atelier 1 : tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donné. Atelier 2 : tracer la parallèle à une droite passant par un point donné (méthode du glissement). Atelier 3 : vérifier des constructions avec l'équerre. Atelier 4 : reproduire une figure sur quadrillage en identifiant les perpendiculaires et parallèles.

40 min·Petits groupes

Dictée Géométrique : Le Programme de Construction

Un élève lit un programme de construction contenant des instructions de perpendiculaires et de parallèles. Son partenaire trace sans voir le modèle. Ils comparent ensuite le résultat avec la figure originale et identifient les erreurs de tracé ou de compréhension.

25 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• Dans la construction de bâtiments, les architectes et les maçons utilisent la perpendicularité pour s'assurer que les murs sont bien d'aplomb et que les angles des pièces sont droits. Le parallélisme est essentiel pour aligner les fenêtres ou les éléments de façade.
• Les ingénieurs ferroviaires conçoivent des voies ferrées parallèles pour permettre aux trains de circuler sans se rencontrer. Les rails eux-mêmes sont posés de manière perpendiculaire aux traverses pour assurer la stabilité.
• Dans la fabrication de meubles, la précision est clé. Les menuisiers vérifient la perpendicularité des angles des cadres et le parallélisme des côtés des tiroirs pour garantir que les pièces s'ajustent parfaitement.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Distribuez une feuille avec plusieurs paires de droites. Demandez aux élèves d'écrire 'P' à côté des paires parallèles et 'Pe' à côté des paires perpendiculaires. Un élève doit ensuite expliquer oralement comment il a identifié l'une des relations.

Billet de sortie

Sur une carte, demandez aux élèves de tracer une droite (d). Ensuite, ils doivent tracer une droite (p) perpendiculaire à (d) passant par un point A, et une droite (r) parallèle à (d) passant par un point B. Ils doivent légender chaque droite tracée.

Question de discussion

Présentez une image d'une ville vue du ciel (avec des rues, des bâtiments). Posez la question : 'Où voyez-vous des exemples de droites parallèles et perpendiculaires dans cette image ? Décrivez comment vous pourriez utiliser l'équerre et la règle pour le vérifier sur un plan.'

Questions fréquentes

Comment vérifier si deux droites sont perpendiculaires ?

On place un côté de l'équerre le long d'une des droites et on vérifie que l'angle droit de l'équerre coïncide avec l'intersection des deux droites. Si le deuxième côté de l'équerre s'aligne avec la seconde droite, elles sont perpendiculaires.

Comment tracer une droite parallèle à une autre au CM2 ?

La méthode la plus courante est le glissement de l'équerre le long de la règle. On place la règle contre une droite, on fait glisser l'équerre le long de la règle jusqu'au point voulu, puis on trace le long de l'équerre. Cette technique demande de la pratique mais produit des parallèles précises.

Pourquoi deux droites parallèles ne se rencontrent jamais ?

Par définition, deux droites parallèles gardent toujours le même écartement entre elles. Elles vont dans la même direction sans jamais converger ni diverger. C'est un axiome de la géométrie euclidienne, celle enseignée à l'école, qui est le fondement de toutes les constructions géométriques du CM2.

Pourquoi travailler la perpendicularité et le parallélisme en activités de groupe ?

Les dictées géométriques et constructions collaboratives obligent les élèves à utiliser le vocabulaire précis (perpendiculaire, parallèle, angle droit) pour communiquer. Cette verbalisation consolide la compréhension et prépare à la rédaction de programmes de construction, compétence explicitement attendue au Cycle 3.