Mathématiques · 5ème

Idées d’apprentissage actif

Diviseurs, Multiples et Critères de Divisibilité

L’étude des diviseurs, multiples et critères de divisibilité gagne à être abordée par l’action et la manipulation. Ces concepts, souvent abstraits, deviennent concrets lorsque les élèves expérimentent, testent et justifient eux-mêmes les règles. Travailler en groupe ou par essais-erreur renforce la mémorisation et la compréhension profonde, car les élèves doivent articuler leur raisonnement à voix haute.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Nombres et calculs
• MEN: Cycle 4 - Utiliser les notions de multiple et diviseur

• 15–35 min
• Binômes → Classe entière
• 4 activités

Activité 01

• Cercle de recherche
• 35 min · Petits groupes

Cercle de recherche: Le crible d'Ératosthène

Chaque groupe reçoit une grille de 1 à 100 et élimine progressivement les multiples de 2, 3, 5, 7. Les nombres restants sont les nombres premiers. Les groupes comparent leurs grilles pour vérifier l'exactitude.

Comment les critères de divisibilité simplifient-ils la recherche de diviseurs d'un nombre ?

Conseil de facilitation

Pour Le crible d’Ératosthène, distribuez à chaque groupe une grille de nombres de 1 à 100 et un chronomètre pour rendre l’activité plus compétitive et engageante.

À observer

Présentez aux élèves une liste de nombres (ex: 120, 75, 99, 104). Demandez-leur d'écrire à côté de chaque nombre par quels entiers parmi 2, 3, 4, 5, 9, 10 il est divisible, en justifiant brièvement leur réponse. Par exemple : '120 : divisible par 2 (chiffre des unités pair), par 3 (1+2+0=3), par 4 (20 est divisible par 4), par 5 (chiffre des unités 0), par 10 (chiffre des unités 0)'.

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Activité 02

• Penser-Partager-Présenter
• 15 min · Binômes

Penser-Partager-Présenter: Divisible ou pas ?

Le professeur annonce un grand nombre (ex : 4 536). Les élèves testent mentalement les critères de divisibilité, comparent leurs conclusions avec leur voisin et vérifient par la division.

Pourquoi certains nombres ont-ils plus de diviseurs que d'autres ?

À observer

Donnez à chaque élève une carte avec une fraction (ex: 18/24). Demandez-leur de trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) pour simplifier la fraction en utilisant les critères de divisibilité et les listes de diviseurs. Ils doivent écrire la fraction simplifiée et le PGCD utilisé.

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Activité 03

• Galerie marchande
• 25 min · Petits groupes

Galerie marchande: Les critères en action

Des affiches présentent chaque critère de divisibilité avec des exemples et des contre-exemples. Les élèves circulent et testent chaque critère sur un nombre choisi au hasard par le professeur.

Comment les notions de multiples et diviseurs sont-elles utilisées dans la vie quotidienne (partage, regroupement) ?

À observer

Posez la question : 'Imaginez que vous devez partager 150 images entre plusieurs amis. Quels sont les différents nombres d'amis possibles pour que le partage soit équitable ?' Guidez la discussion pour qu'ils identifient les diviseurs de 150 et expliquent pourquoi ces nombres fonctionnent.

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Activité 04

• Jeu de simulation
• 25 min · Classe entière

Jeu de simulation: Le problème du partage équitable

Le professeur pose un problème concret : « On a 84 bonbons à répartir équitablement. En combien de groupes égaux peut-on les diviser ? » Les élèves cherchent tous les diviseurs de 84 et proposent différentes configurations.

Comment les critères de divisibilité simplifient-ils la recherche de diviseurs d'un nombre ?

À observer

Présentez aux élèves une liste de nombres (ex: 120, 75, 99, 104). Demandez-leur d'écrire à côté de chaque nombre par quels entiers parmi 2, 3, 4, 5, 9, 10 il est divisible, en justifiant brièvement leur réponse. Par exemple : '120 : divisible par 2 (chiffre des unités pair), par 3 (1+2+0=3), par 4 (20 est divisible par 4), par 5 (chiffre des unités 0), par 10 (chiffre des unités 0)'.

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Conscience sociale
• Prise de décision

Quelques notes pour enseigner cette unité

Commencez par des exercices courts et visuels pour ancrer les critères de divisibilité avant de passer aux problèmes complexes. Insistez sur la formulation exacte : « divisible par » pour éviter les confusions entre diviseurs et multiples. Évitez de donner les critères par cœur sans les démontrer, car cela favorise les erreurs de généralisation. Les recherches montrent que les élèves retiennent mieux quand ils découvrent les règles eux-mêmes, par exemple en additionnant les chiffres pour le critère de 3.

Une fois ces activités terminées, les élèves devraient pouvoir identifier rapidement les diviseurs et multiples d’un nombre, appliquer correctement les critères de divisibilité, et utiliser ces outils pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes de partage. Leur langage doit refléter cette précision : ils parleront de « 12 est divisible par 3 » plutôt que de « 3 divise 12 ».

---

Attention à ces idées reçues

• During Collaborative Investigation : Le crible d’Ératosthène, watch for l’élève qui classe 9 ou 15 comme nombres premiers parce qu’ils sont impairs.

  Pendant l’activité, demandez-lui de tester concrètement la divisibilité de 9 par 3 (somme des chiffres = 9) et de 15 par 3 ou 5, pour qu’il observe que ces nombres ne sont pas premiers malgré leur parité.

• During Think-Pair-Share : Divisible ou pas ?, watch for l’élève qui généralise le critère de divisibilité par 3 (somme des chiffres) à celui par 4.

  Pendant la phase de vérification croisée en binôme, donnez-lui deux nombres similaires (ex : 124 et 123) et demandez-lui de tester les deux critères séparément pour repérer la confusion.

• During Gallery Walk : Les critères en action, watch for l’élève qui dit « 3 est un multiple de 12 » au lieu de « 12 est divisible par 3 ».

  Pendant le parcours, insistez sur la formulation exacte : « Si 12 est divisible par 3, alors 3 est un diviseur de 12 et 12 est un multiple de 3 ». Faites-le répéter cette phrase à voix haute pour chaque exemple examiné.

---

Méthodes utilisées dans ce dossier

• Cercle de recherche
• Penser-Partager-Présenter
• Galerie marchande
• Jeu de simulation