Mathématiques · 5ème · Nombres et Calculs : La Maîtrise des Opérations · 1er Trimestre

Diviseurs, Multiples et Critères de Divisibilité

Les élèves étudient les critères de divisibilité et les notions de multiples et diviseurs pour des nombres entiers.

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• MEN: Cycle 4 - Nombres et calculs
• MEN: Cycle 4 - Utiliser les notions de multiple et diviseur

À propos de ce thème

Les notions de diviseurs et de multiples sont fondamentales pour le travail sur les fractions et la décomposition en facteurs premiers. En 5ème, les élèves systématisent les critères de divisibilité (par 2, 3, 4, 5, 9, 10) et les utilisent pour simplifier des fractions, trouver des dénominateurs communs et résoudre des problèmes de partage.

La distinction entre « être divisible par » et « être multiple de » est une question de point de vue sur la même relation : 12 est divisible par 3 et 12 est multiple de 3. Les élèves étudient aussi la notion de nombres premiers, qui constituent les briques élémentaires de tous les entiers. Les jeux de tri, les cribles et les défis de décomposition en groupe stimulent la curiosité pour les propriétés des nombres. Cette base prépare directement le travail sur le PGCD et le PPCM.

Questions clés

1. Comment les critères de divisibilité simplifient-ils la recherche de diviseurs d'un nombre ?
2. Pourquoi certains nombres ont-ils plus de diviseurs que d'autres ?
3. Comment les notions de multiples et diviseurs sont-elles utilisées dans la vie quotidienne (partage, regroupement) ?

Objectifs d'apprentissage

• Identifier les diviseurs et les multiples d'un nombre entier donné.
• Appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 pour déterminer rapidement si un nombre est divisible par ces entiers.
• Expliquer la relation entre les notions de diviseur et de multiple d'un nombre.
• Calculer le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres simples en utilisant la liste des multiples.
• Démontrer comment les critères de divisibilité facilitent la simplification de fractions.

Avant de commencer

Les quatre opérations sur les nombres entiers

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser l'addition, la soustraction, la multiplication et la division pour comprendre les concepts de reste et de division exacte.

Introduction aux nombres entiers et à leur représentation

Pourquoi : Une compréhension de base des nombres entiers, y compris leur valeur et leur position (chiffre des unités, dizaines, etc.), est nécessaire pour appliquer les critères de divisibilité.

Vocabulaire clé

Diviseur	Un nombre entier qui divise un autre nombre entier sans laisser de reste. Par exemple, 3 est un diviseur de 12.
Multiple	Le résultat de la multiplication d'un nombre entier par un autre nombre entier. Par exemple, 24 est un multiple de 3 (3 x 8 = 24).
Critère de divisibilité	Une règle simple qui permet de savoir si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division complète. Par exemple, un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Nombre premier	Un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 7 est un nombre premier.
PPCM (Plus Petit Commun Multiple)	Le plus petit nombre entier qui est un multiple de deux nombres entiers donnés. Par exemple, le PPCM de 4 et 6 est 12.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre diviseur et multiple.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'élève dit « 3 est un multiple de 12 » au lieu de « 3 est un diviseur de 12 ». La formulation systématique « 12 est divisible par 3, donc 3 est un diviseur de 12 et 12 est un multiple de 3 » aide à clarifier les deux faces de la relation.

Idée reçue courante

Penser qu'un nombre est premier parce qu'il est impair.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'élève oublie que 9, 15 ou 21 sont impairs mais pas premiers. Le crible d'Ératosthène mené en groupe révèle concrètement que la primalité n'a rien à voir avec la parité.

Idée reçue courante

Appliquer le critère de divisibilité par 3 (somme des chiffres) au critère de divisibilité par 4.

Ce qu'il faut enseigner à la place

L'élève généralise un critère à un autre. Il faut bien distinguer chaque critère et les pratiquer séparément avant de les combiner. Les exercices en binôme de vérification croisée permettent de repérer ces confusions.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Le crible d'Ératosthène

Chaque groupe reçoit une grille de 1 à 100 et élimine progressivement les multiples de 2, 3, 5, 7. Les nombres restants sont les nombres premiers. Les groupes comparent leurs grilles pour vérifier l'exactitude.

35 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Divisible ou pas ?

Le professeur annonce un grand nombre (ex : 4 536). Les élèves testent mentalement les critères de divisibilité, comparent leurs conclusions avec leur voisin et vérifient par la division.

15 min·Binômes

Galerie marchande: Les critères en action

Des affiches présentent chaque critère de divisibilité avec des exemples et des contre-exemples. Les élèves circulent et testent chaque critère sur un nombre choisi au hasard par le professeur.

25 min·Petits groupes

Jeu de simulation: Le problème du partage équitable

Le professeur pose un problème concret : « On a 84 bonbons à répartir équitablement. En combien de groupes égaux peut-on les diviser ? » Les élèves cherchent tous les diviseurs de 84 et proposent différentes configurations.

25 min·Classe entière

Liens avec le monde réel

• Lors de l'organisation d'une fête, les critères de divisibilité aident à répartir équitablement les bonbons ou les invitations entre les invités. Si 30 bonbons doivent être partagés entre 5 amis, on utilise le critère de divisibilité par 5 pour savoir si la division sera exacte.
• Dans la conception de jeux de société, les créateurs utilisent les notions de multiples et diviseurs pour définir le nombre de cartes dans un paquet, le nombre de cases sur un plateau, ou pour organiser les tours de jeu, assurant ainsi une structure équilibrée.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présentez aux élèves une liste de nombres (ex: 120, 75, 99, 104). Demandez-leur d'écrire à côté de chaque nombre par quels entiers parmi 2, 3, 4, 5, 9, 10 il est divisible, en justifiant brièvement leur réponse. Par exemple : '120 : divisible par 2 (chiffre des unités pair), par 3 (1+2+0=3), par 4 (20 est divisible par 4), par 5 (chiffre des unités 0), par 10 (chiffre des unités 0)'.

Billet de sortie

Donnez à chaque élève une carte avec une fraction (ex: 18/24). Demandez-leur de trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) pour simplifier la fraction en utilisant les critères de divisibilité et les listes de diviseurs. Ils doivent écrire la fraction simplifiée et le PGCD utilisé.

Question de discussion

Posez la question : 'Imaginez que vous devez partager 150 images entre plusieurs amis. Quels sont les différents nombres d'amis possibles pour que le partage soit équitable ?' Guidez la discussion pour qu'ils identifient les diviseurs de 150 et expliquent pourquoi ces nombres fonctionnent.

Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

On additionne tous ses chiffres. Si cette somme est elle-même divisible par 3, alors le nombre est divisible par 3. Exemple : 237, car 2 + 3 + 7 = 12, et 12 est divisible par 3.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

C'est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13. Le nombre 1 n'est pas premier.

À quoi servent les critères de divisibilité dans la vie courante ?

Ils permettent de vérifier rapidement si un partage sera équitable, si un emballage peut être rangé en rangées régulières, ou si une conversion d'unités tombera juste, sans poser la division complète.

Comment le crible d'Ératosthène en groupe favorise-t-il l'apprentissage ?

Chaque élève du groupe se charge d'éliminer les multiples d'un nombre premier. Le travail collaboratif rend le processus rapide et la vérification collective garantit l'exactitude. Les élèves découvrent visuellement la répartition irrégulière des nombres premiers.