Mathématiques · 3ème · Statistiques et Probabilités : Analyser l'Incertain · 2e Trimestre

Probabilités Composées et Arbres Pondérés

Les élèves calculent des probabilités d'événements composés à l'aide d'arbres pondérés pour des expériences à deux épreuves.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Organisation et gestion de données, fonctions

À propos de ce thème

Les probabilités composées marquent une progression importante en 3ème : les élèves passent du calcul sur une seule epreuve a des expériences a deux epreuves successives. Le programme de l'Education nationale introduit les arbres pondérés comme outil de modélisation pour ces situations.

L'arbre pondéré organise visuellement toutes les issues d'une expérience a plusieurs étapes. La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les probabilités de chaque branche, et la probabilité d'un événement s'obtient en additionnant les probabilités de tous les chemins qui le realisent. Les élèves abordent la distinction entre événements indépendants (le résultat de la première epreuve n'influence pas la seconde) et événements dépendants (tirage sans remise).

Les activites collaboratives sont essentielles ici : construire un arbre pondéré est une tâche complexe ou les erreurs de structure sont fréquentes. Le travail en binôme avec vérification croisée permet de détecter les branches manquantes et les erreurs de multiplication avant qu'elles ne se fixent.

Questions clés

1. Comment les arbres pondérés simplifient-ils le calcul de probabilités d'événements complexes ?
2. Expliquez la différence entre des événements indépendants et dépendants dans le calcul des probabilités.
3. Design une expérience aléatoire à deux épreuves et calculez les probabilités associées.

Objectifs d'apprentissage

• Calculer la probabilité d'événements composés pour des expériences à deux épreuves successives en utilisant des arbres pondérés.
• Comparer et contraster la probabilité d'événements indépendants et dépendants dans des contextes de tirages successifs.
• Construire un arbre pondéré pour représenter une expérience aléatoire à deux épreuves et identifier tous les chemins possibles.
• Analyser la structure d'un arbre pondéré pour déterminer la probabilité d'un événement composé spécifique.
• Concevoir une expérience aléatoire simple à deux épreuves et calculer les probabilités des issues composées.

Avant de commencer

Probabilités d'une seule épreuve

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser le calcul de probabilité simple (nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles) avant d'aborder les probabilités composées.

Notion d'événements

Pourquoi : La compréhension de ce qu'est un événement et la capacité à identifier les issues favorables sont fondamentales pour construire des arbres et calculer des probabilités.

Vocabulaire clé

Événement composé	Un événement qui résulte de la combinaison de deux ou plusieurs événements plus simples, souvent issus d'épreuves successives.
Arbre pondéré	Un schéma représentant les différentes issues possibles d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, avec les probabilités associées à chaque branche.
Épreuves successives	Une séquence d'expériences aléatoires réalisées l'une après l'autre, où le résultat de la première peut influencer la seconde.
Événements indépendants	Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre.
Événements dépendants	Deux événements sont dépendants si la réalisation de l'un modifie la probabilité de réalisation de l'autre (par exemple, un tirage sans remise).

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Additionner les probabilités des branches au lieu de les multiplier pour calculer la probabilité d'un chemin.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La regle est : on multiplie le long d'un chemin (ET), on additionne entre les chemins (OU). Construire des arbres en binôme avec une couleur par operation (rouge pour multiplier, bleu pour additionner) aide a ancrer cette distinction.

Idée reçue courante

Ne pas ajuster les probabilités pour un tirage sans remise.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Quand on ne remet pas l'objet tire, la composition de l'urne change pour le deuxième tirage. Les activites de simulation physique (retirer réellement une bille du sac) rendent ce changement tangible et corrigent l'erreur de raisonnement.

Idée reçue courante

Confondre la probabilité d'un chemin avec la probabilité d'un événement regroupant plusieurs chemins.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Un événement comme obtenir au moins un 6 correspond a plusieurs chemins dans l'arbre. Le travail en groupe sur des arbres annotes, ou l'on surligne tous les chemins favorables avant d'additionner, installe la bonne méthode.

Idées d'apprentissage actif

Penser-Partager-Présenter: Avec ou Sans Remise

Chaque élève reçoit un problème de tirage de billes (avec remise puis sans remise) et construit les deux arbres. Il compare avec son binôme pour identifier les différences de structure et de probabilités. La classe discute de l'impact de la dépendance.

30 min·Binômes

Investigation Collaborative : L'Experience des Deux Des

Chaque groupe lance deux des 50 fois et note les sommes obtenues. Ils construisent l'arbre pondéré théorique, calculent les probabilités de chaque somme, puis comparent avec leurs fréquences expérimentales. Le debat porte sur les écarts observes.

45 min·Petits groupes

Galerie marchande: Arbres Pondérés Illustres

Chaque groupe crée un poster présentant un problème de probabilités composées avec son arbre pondéré complet, les calculs détailles et la réponse. Les autres groupes circulent, vérifient les calculs et signalent les erreurs eventuelles sur des post-it.

35 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Dans le domaine des jeux de société, la conception d'un jeu impliquant des lancers de dés successifs ou des tirages de cartes utilise les probabilités composées pour équilibrer le gameplay et prédire la fréquence de certaines combinaisons.
• Les statisticiens sportifs utilisent des arbres pondérés pour modéliser des séquences de jeu, comme la probabilité qu'une équipe marque deux fois de suite ou qu'un joueur réussisse deux tirs consécutifs.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présentez aux élèves une situation simple de deux tirages sans remise dans un sac contenant des billes de couleurs différentes. Demandez-leur de construire l'arbre pondéré et de calculer la probabilité d'obtenir deux billes de la même couleur.

Billet de sortie

Donnez aux élèves une expérience aléatoire à deux épreuves (ex: lancer une pièce puis un dé). Demandez-leur d'écrire la probabilité d'obtenir 'Pile' puis un nombre pair, en expliquant brièvement s'ils considèrent les événements comme indépendants ou dépendants.

Question de discussion

Posez la question : 'Quand peut-on dire que deux épreuves successives sont indépendantes ?' Demandez aux élèves de donner des exemples concrets et d'expliquer pourquoi la probabilité ne change pas entre la première et la seconde épreuve dans leurs exemples.

Questions fréquentes

Comment construire un arbre pondéré pour deux epreuves successives ?

On trace d'abord les branches de la première epreuve avec leurs probabilités, puis, a partir de chaque issue, les branches de la deuxième epreuve. Les probabilités de la deuxième etape dépendent du contexte (avec ou sans remise). Chaque chemin complet représente une issue de l'expérience composée.

Quelle est la différence entre événements indépendants et dépendants ?

Deux événements sont indépendants si le résultat du premier n'influence pas les probabilités du second (ex : deux lancers de de). Ils sont dépendants si le premier modifie les conditions du second (ex : tirage sans remise dans une urne). Les probabilités de la deuxième branche changent dans le cas dépendant.

Comment calculer la probabilité d'un événement compose avec un arbre ?

On identifie tous les chemins de l'arbre qui realisent l'événement. Pour chaque chemin, on multiplie les probabilités des branches successives. Puis on additionne les résultats de tous les chemins favorables. C'est la regle multiplier le long, additionner entre.

Comment les activites en groupe aident-elles a maitriser les arbres pondérés ?

Construire un arbre est une tâche ou les erreurs de structure (branches oubliées, probabilités non ajustées) sont fréquentes et difficiles a détecter seul. La vérification croisée en binôme ou le controle par un autre groupe lors d'un Galerie marchande permet de repérer ces erreurs avant qu'elles ne deviennent des habitudes.