Introduction aux Fonctions : Vocabulaire et Représentations

Le concept de fonction repose sur une manipulation concrète des relations entre variables. Les élèves passent d'une vision statique des nombres à une dynamique de processus, ce qui nécessite des approches actives pour ancrer la compréhension. Travailler avec des représentations multiples (graphiques, tableaux, formules) permet de construire une image mentale solide du concept.

• 3ème
• Vers le Lycée : Maîtrise et Raisonnement Mathématique
• 3 activités
• 25 min–40 min

Objectifs d’apprentissage

1. Identifier l'antécédent et l'image d'une valeur donnée à partir d'une représentation graphique.
2. Calculer l'image d'une valeur par une fonction définie par une expression algébrique simple.
3. Comparer les informations fournies par un tableau de valeurs et un graphique pour décrire une fonction.
4. Expliquer pourquoi une relation donnée n'est pas une fonction en utilisant la définition (un antécédent ne peut avoir qu'une seule image).
5. Représenter une fonction simple à l'aide d'un tableau de valeurs à partir de son expression algébrique.

Cercle de recherche

⏱ 40 min·Petits groupes

Cercle de recherche: La Machine Mystère

Un groupe programme une "machine" (une règle secrète comme f(x) = 3x - 2). Les autres groupes proposent des antécédents et reçoivent les images correspondantes. Après plusieurs essais, ils formulent une conjecture sur l'expression de la fonction, puis la vérifient.

Préparation et détails

En quoi une fonction est-elle une 'machine' mathématique ?

Conseil de facilitation: Pendant 'La Machine Mystère', circulez entre les groupes pour écouter leurs hypothèses et relancez leurs raisonnements avec des questions comme 'Que se passe-t-il si vous testez cette valeur ?'.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 25 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Graphique, Tableau ou Formule ?

Les élèves reçoivent trois fonctions présentées sous des formes différentes et doivent répondre aux mêmes questions (image de 3, antécédent de 7). Chacun note quelle représentation rend chaque question plus facile, puis compare son analyse avec un voisin.

Préparation et détails

Comparez les avantages et inconvénients des différentes représentations d'une fonction.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Galerie marchande

⏱ 30 min·Classe entière

Galerie marchande: Fonction ou Pas Fonction ?

Des affiches présentent des graphiques variés (courbes, nuages de points, droites verticales). Les élèves circulent et déterminent lesquels représentent une fonction (test de la droite verticale) en justifiant sur un post-it.

Préparation et détails

Expliquez comment identifier si une relation est une fonction à partir d'un graphique.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples concrets et variés pour éviter l'abstraction prématurée. Évitez de présenter la formule algébrique comme la seule représentation valable : insistez sur l'équivalence des formes. Utilisez des erreurs courantes comme point de départ pour des discussions collectives, car elles révèlent souvent des incompréhensions profondes.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, les élèves distinguent clairement antécédents et images, identifient une fonction parmi d'autres relations et justifient leur choix avec le vocabulaire approprié. Ils savent aussi passer d'une représentation à l'autre pour décrire une même fonction.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During 'Gallery Walk : Fonction ou Pas Fonction ?', watch for...

Ce qu'il faut enseigner à la place

les élèves qui confondent antécédent et image en lisant un graphique. Pendant la phase de discussion collective après le parcours, demandez à chaque groupe de présenter une lecture correcte d'un point du graphique en précisant à voix haute 'l'antécédent est..., l'image est...'.

Idée reçue courante

During 'Collaborative Investigation : La Machine Mystère', watch for...

Ce qu'il faut enseigner à la place

les élèves qui pensent qu'une fonction doit obligatoirement avoir une formule. Interrompez leur investigation en leur montrant que la machine peut fonctionner sans formule (par exemple, avec un tableau ou un graphique). Demandez-leur de décrire la machine uniquement avec des mots ou des dessins.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

After 'La Machine Mystère', distribuez une feuille avec un graphique simple. Demandez aux élèves d'identifier l'image d'un antécédent donné et de justifier leur réponse en utilisant le vocabulaire 'antécédent' et 'image'.

Vérification rapide

During 'Think-Pair-Share : Graphique, Tableau ou Formule ?', présentez deux relations simultanément. Demandez aux élèves de travailler en binôme pour déterminer laquelle est une fonction et d'expliquer leur choix en utilisant le critère de l'unicité de l'image.

Question de discussion

After 'Gallery Walk : Fonction ou Pas Fonction ?', organisez un débat en classe entière. Montrez un exemple de fonction représentée par un tableau et un graphique. Demandez : 'Quel avantage offre le graphique pour visualiser le comportement de la fonction ? Quel avantage offre le tableau pour calculer des valeurs précises ?' Notez les réponses au tableau pour synthétiser.

Extensions et étayage

• Proposez aux élèves rapides de créer leur propre 'machine mystère' pour la classe, avec une relation qui n'est pas une fonction, puis échangez avec un pair pour l'identifier.
• Pour les élèves en difficulté, fournissez des étiquettes à coller sur les axes des graphiques ('antécédent' et 'image') pendant l'activité 'Graphique, Tableau ou Formule ?'.
• Offrez un temps supplémentaire pour explorer la représentation paramétrique d'une fonction (par exemple, x(t) = 2t + 1, y(t) = t²) et comparez-la aux autres formes.

Vocabulaire clé

Fonction	Une règle qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (antécédent) un unique élément d'un ensemble d'arrivée (image).
Antécédent	La valeur de l'ensemble de départ qui, une fois traitée par la fonction, donne une image spécifique.
Image	La valeur de l'ensemble d'arrivée obtenue après avoir appliqué la fonction à un antécédent.
Représentation graphique	La visualisation d'une fonction dans un repère cartésien, où les points (antécédent, image) sont tracés.
Tableau de valeurs	Un tableau qui liste des paires d'antécédents et de leurs images correspondantes pour une fonction donnée.