Mathématiques · 3ème · Calcul Littéral et Modélisation Algébrique · 1er Trimestre

Résolution d'Inéquations du Premier Degré

Les élèves résolvent des inéquations du premier degré et représentent leurs solutions sur une droite numérique.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Nombres et calculs

À propos de ce thème

Contrairement à une équation qui admet en général une seule solution, une inéquation du premier degré possède une infinité de solutions formant un intervalle de la droite numérique. Résoudre 3x - 5 > 7, c'est trouver l'ensemble de tous les nombres x vérifiant cette condition, ici x > 4. La représentation sur une droite graduée est l'outil de visualisation central pour ces ensembles de solutions.

Le point de vigilance majeur concerne la multiplication ou la division par un nombre négatif : cette opération inverse le sens de l'inégalité. Cette règle, souvent mémorisée sans être comprise, découle d'une propriété fondamentale de l'ordre sur les nombres réels. Tester avec des exemples numériques simples (si 2 < 5, alors -2 > -5) avant toute formalisation aide les élèves à intérioriser ce changement de sens.

Les inéquations modélisent des contraintes concrètes : budget maximal, capacité de charge, température minimale. Les approches actives qui placent les élèves face à des problèmes de décision (quel forfait choisir selon sa consommation ?) donnent un sens immédiat à ces intervalles de solutions et motivent la rigueur du raisonnement.

Questions clés

1. Pourquoi une inéquation possède-t-elle souvent une infinité de solutions contrairement à une équation ?
2. Expliquez l'effet de la multiplication ou de la division par un nombre négatif sur le sens d'une inéquation.
3. Distinguez la représentation graphique des solutions d'une équation de celle d'une inéquation.

Objectifs d'apprentissage

• Calculer l'ensemble des solutions d'une inéquation du premier degré à une inconnue.
• Représenter graphiquement l'ensemble solution d'une inéquation sur une droite numérique.
• Expliquer l'effet de la multiplication ou division par un nombre négatif sur le sens d'une inégalité.
• Comparer la nature des ensembles de solutions d'une équation et d'une inéquation du premier degré.
• Modéliser une situation concrète simple à l'aide d'une inéquation du premier degré.

Avant de commencer

Équations du premier degré à une inconnue

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la résolution d'équations pour comprendre les similitudes et les différences avec les inéquations.

Nombres relatifs et opérations

Pourquoi : La manipulation des nombres positifs et négatifs, notamment lors des multiplications et divisions, est essentielle pour comprendre le changement de sens de l'inégalité.

Repérage sur une droite graduée

Pourquoi : La capacité à placer des nombres et à visualiser des intervalles sur une droite numérique est fondamentale pour représenter les solutions des inéquations.

Vocabulaire clé

Inéquation du premier degré	Une égalité mathématique contenant une inconnue (souvent x) avec la plus grande puissance de cette inconnue égale à 1, et utilisant des symboles d'inégalité (<, >, ≤, ≥).
Ensemble solution	L'ensemble de toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inéquation vraie. Pour une inéquation du premier degré, cet ensemble est souvent un intervalle.
Droite numérique	Une ligne droite graduée sur laquelle les nombres réels sont représentés, utilisée ici pour visualiser les ensembles de solutions des inéquations.
Sens de l'inégalité	L'orientation de la relation entre deux nombres ou expressions, indiquée par les symboles <, >, ≤, ou ≥. Ce sens peut s'inverser lors de certaines opérations.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Oublier d'inverser le sens de l'inégalité lors d'une multiplication par un nombre négatif.

Ce qu'il faut enseigner à la place

C'est l'erreur la plus fréquente. Faire tester l'inégalité 3 < 7 en multipliant les deux membres par -1 montre que -3 > -7. Ce test numérique, répété sur plusieurs exemples en binôme avant la formalisation, ancre le réflexe bien plus efficacement qu'une règle apprise par cœur.

Idée reçue courante

Confondre la représentation graphique du crochet ouvert et du crochet fermé.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Le crochet ouvert (ou le rond vide) indique que la borne n'est pas incluse (inégalité stricte), le crochet fermé (ou le rond plein) qu'elle est incluse. Des exercices de représentation systématique, avec vérification par substitution de la valeur frontière, stabilisent cette convention.

Idées d'apprentissage actif

Penser-Partager-Présenter: Le Piège du Signe Négatif

Les élèves résolvent -2x > 6 individuellement. Le professeur recueille les réponses (certains trouvent x > -3, d'autres x < -3). Les paires vérifient en substituant des valeurs et identifient la réponse correcte, puis formulent la règle du changement de sens.

25 min·Binômes

Cercle de recherche: Le Choix de Forfait

Par groupes, les élèves comparent deux offres de téléphone (un forfait avec abonnement fixe, un sans abonnement mais avec un prix à la minute plus élevé). Ils écrivent l'inéquation correspondante et déterminent à partir de combien de minutes l'un devient plus avantageux que l'autre.

40 min·Petits groupes

Galerie marchande: Solutions sur la Droite

Des affiches présentent des inéquations résolues avec leur représentation sur une droite graduée. Certaines contiennent des erreurs (mauvais sens, borne incluse au lieu d'exclue). Les élèves circulent, identifient les erreurs et proposent la correction sur un post-it.

30 min·Classe entière

Liens avec le monde réel

• Un artisan doit réaliser un budget pour l'achat de matériaux. S'il dispose de 500€ et que le coût des matériaux est de 20€ par mètre carré, il doit résoudre l'inéquation 20x ≤ 500 pour déterminer la surface maximale qu'il peut couvrir.
• Pour un voyage scolaire, le coût total est de 1500€. Si chaque élève doit payer au moins 30€, on peut modéliser cette situation par l'inéquation 30n ≥ 1500, où n est le nombre d'élèves, pour s'assurer que le financement sera suffisant.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves l'inéquation 2x + 5 < 11. Demandez-leur de résoudre l'inéquation, de représenter la solution sur une droite numérique et d'écrire une phrase expliquant pourquoi le sens de l'inégalité n'a pas changé.

Vérification rapide

Présentez deux inéquations : a) 3x > 9 et b) -2x < 6. Demandez aux élèves d'écrire la solution pour chaque inéquation et d'expliquer oralement ou par écrit la différence dans la démarche de résolution, en particulier concernant le signe du nombre par lequel on divise.

Question de discussion

Posez la question : 'Pourquoi dit-on qu'une équation a souvent une seule solution alors qu'une inéquation en a une infinité ?' Guidez la discussion vers la nature des ensembles de solutions (un point vs un intervalle) et l'importance de la droite numérique pour visualiser ces différences.

Questions fréquentes

Pourquoi une inéquation possède-t-elle souvent une infinité de solutions ?

Une équation comme x = 4 fixe une valeur précise. Une inéquation comme x > 4 est vérifiée par 5, 4.1, 100, 4.001 et tous les nombres supérieurs à 4. L'ensemble des solutions forme un intervalle, représenté par une demi-droite sur la droite numérique. C'est cette nature d'intervalle qui produit l'infinité de solutions.

Pourquoi le sens de l'inégalité change-t-il quand on multiplie par un nombre négatif ?

Multiplier par un nombre négatif inverse l'ordre sur la droite numérique. Si a < b, alors -a > -b, car les positions sont inversées par rapport à zéro. C'est une propriété de l'ordre des nombres réels, pas une convention arbitraire. Vérifier avec des exemples numériques avant chaque exercice renforce cette compréhension.

Comment représenter correctement les solutions d'une inéquation sur une droite ?

On place la valeur frontière sur la droite graduée, puis on colorie la demi-droite correspondant aux solutions. Un rond vide (ou crochet ouvert) signifie que la borne est exclue (inégalité stricte), un rond plein (ou crochet fermé) qu'elle est incluse. La flèche indique que les solutions se poursuivent à l'infini.

Comment les mises en situation concrètes facilitent-elles l'apprentissage des inéquations ?

Les problèmes de choix (quel abonnement selon ma consommation ?) transforment l'inéquation en outil de décision. Les élèves comprennent que l'intervalle de solutions répond à une question pratique, ce qui donne du sens à la représentation graphique et motive la rigueur du calcul.