Idées d’apprentissage actif
L'introduction aux graphes marque l'entrée dans les mathématiques discrètes, un domaine essentiel pour l'informatique et l'optimisation. Les élèves apprennent à modéliser des situations complexes (réseaux sociaux, plans de métro, circuits logistiques) par des sommets et des arêtes. Le programme de Terminale met l'accent sur le vocabulaire technique et la capacité à traduire un problème concret en un objet mathématique.
Activité 01
Les élèves tentent de résoudre le problème historique d'Euler sur papier. Ils doivent ensuite identifier les conditions sur les degrés des sommets pour qu'un tel parcours soit possible.
Comment modéliser un réseau à l'aide d'un graphe ?
Activité 02
Sur un graphe pondéré représentant une ville, les groupes doivent trouver le chemin le plus court pour relier deux points. Ils comparent leurs méthodes intuitives avec l'application rigoureuse de l'algorithme de Dijkstra.
Qu'est-ce qu'une chaîne eulérienne ?
Activité 03
Chaque groupe propose un graphe modélisant une situation réelle (réseau de bus, amitiés, arbre généalogique). Les autres élèves doivent deviner ce qui est représenté et calculer l'ordre et la taille du graphe.
Comment déterminer le plus court chemin dans un graphe pondéré ?
Quelques notes pour enseigner cette unité
Attention à ces idées reçues
Confondre un graphe connexe et un graphe complet.
Un graphe connexe permet d'aller partout, un graphe complet a des liens directs partout. Faire dessiner un cycle (connexe mais non complet) permet de clarifier visuellement cette distinction.
Penser que le degré d'un sommet est le nombre de sommets voisins.
C'est vrai sauf s'il y a des boucles ou des arêtes multiples. En utilisant des graphes avec des boucles, les élèves apprennent à compter les 'extrémités' d'arêtes plutôt que les voisins.
Méthodes utilisées dans ce dossier
Calcul matriciel
Définition des matrices, opérations (addition, multiplication), matrice inverse et résolution de systèmes linéaires.
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Graphes probabilistes et chaînes de Markov
Modélisation de situations aléatoires évolutives par des graphes probabilistes et utilisation des matrices de transition.
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