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Terminale Mathématiques expertes.
L'enseignement optionnel de mathématiques expertes est destiné aux élèves qui ont un goût affirmé pour les mathématiques et qui visent des formations supérieures où cette discipline joue un rôle fondamental. Il permet d'aborder de nouveaux champs d'étude comme les nombres complexes, l'arithmétique et les graphes à travers la résolution de problèmes.
01Nombres complexes : point de vue algébrique et géométrique
Introduction aux nombres complexes, leur manipulation algébrique et leur interprétation géométrique dans le plan. Cette unité pose les bases fondamentales de l'analyse complexe.
Étude de l'ensemble C, des opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique et des propriétés du conjugué.
Définition du module et de l'argument d'un nombre complexe, et passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.
Utilisation des nombres complexes pour résoudre des problèmes de géométrie, notamment les distances, les angles et les configurations classiques.
02Nombres complexes : équations polynomiales et trigonométrie
Approfondissement des nombres complexes avec la forme exponentielle, la résolution d'équations polynomiales et les liens étroits avec la trigonométrie.
Introduction de la notation exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, et applications à la linéarisation de polynômes trigonométriques.
Résolution des équations du second degré à coefficients réels et extension aux équations de degré supérieur.
Étude des racines n-ièmes de l'unité, de leur représentation géométrique sous forme de polygones réguliers et de leurs propriétés algébriques.
03Arithmétique
Étude des propriétés des nombres entiers, de la divisibilité, des nombres premiers et des congruences. Cette unité développe la rigueur et le raisonnement logique.
Rappels et approfondissements sur la divisibilité dans Z, la division euclidienne et ses propriétés fondamentales.
Définition du PGCD, algorithme d'Euclide, identité de Bézout et résolution d'équations diophantiennes linéaires.
Étude de la répartition des nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et application du théorème de Gauss.
Introduction aux congruences sur les entiers, petit théorème de Fermat et applications concrètes comme le chiffrement RSA.
04Graphes et matrices
Introduction à la théorie des graphes et au calcul matriciel. Ces outils sont appliqués à la modélisation de réseaux et à l'étude de phénomènes évolutifs.
Vocabulaire des graphes (sommets, arêtes, degrés), graphes complets, connexes et notion de chemin.
Définition des matrices, opérations (addition, multiplication), matrice inverse et résolution de systèmes linéaires.
Modélisation de situations aléatoires évolutives par des graphes probabilistes et utilisation des matrices de transition.