Matemáticas · 3° ESO

Ideas de aprendizaje activo

Funciones de Proporcionalidad Inversa

El aprendizaje activo funciona especialmente bien en este tema porque los alumnos necesitan manipular datos, trazar gráficas y observar patrones para entender la relación entre variables que cambian de forma inversa. Trabajar con material concreto y situaciones cotidianas evita que confundan la proporcionalidad inversa con la directa, reforzando la comprensión visual y conceptual.

Competencias Clave LOMLOELOMLOE: ESO - Sentido algebraicoLOMLOE: ESO - Conexiones
30–50 minParejas → Toda la clase4 actividades

Actividad 01

Estudio de caso45 min · Grupos pequeños

Estaciones Gráficas: Hipérbolas Inversas

Prepara cuatro estaciones con tablas de valores para y= k/x con distintos k. Cada grupo grafica una en papel milimetrado, identifica asíntotas y compara con lineales. Rotan cada 10 minutos y comparten hallazgos.

¿Cómo se diferencia la gráfica de una función de proporcionalidad inversa de una lineal?

Consejo de facilitaciónDurante 'Estaciones Gráficas', asegúrate de que cada pareja discuta cómo los puntos se acercan a los ejes pero nunca los cruzan.

Qué observarEntrega a cada alumno una tarjeta con una tabla de valores que represente una proporcionalidad inversa (ej. horas de trabajo vs. tareas completadas). Pídeles que calculen la constante k y escriban la ecuación de la función. Luego, deben dibujar las asíntotas en un sistema de coordenadas.

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Actividad 02

Estudio de caso35 min · Parejas

Datos Reales: Tiempo y Velocidad

Los alumnos miden el tiempo para recorrer 100 metros caminando, trotando y corriendo. Calculan velocidades, grafican tiempo vs velocidad e identifican la forma hiperbólica. Discuten por qué no se cruza el eje.

¿Qué aplicaciones prácticas tienen las funciones de proporcionalidad inversa en la física o la economía?

Consejo de facilitaciónEn 'Datos Reales: Tiempo y Velocidad', pide a los alumnos que calculen k antes de graficar para que entiendan su significado físico.

Qué observarPlantea la siguiente pregunta al grupo: 'Imaginad que tenéis que repartir 100 caramelos entre un número de amigos. ¿Cómo cambia la cantidad de caramelos que recibe cada amigo si el número de amigos aumenta?'. Pide a los alumnos que describan la relación usando los términos 'proporcionalidad inversa', 'constante' y 'asíntotas'.

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Actividad 03

Estudio de caso50 min · Grupos pequeños

Modelos Físicos: Resortes y Fuerza

Usa resortes o apps para simular fuerza inversa a la distancia. Registra datos, grafica y ajusta la constante k. Compara en clase con ecuaciones teóricas.

¿Por qué estas funciones tienen asíntotas?

Consejo de facilitaciónPara 'Modelos Físicos: Resortes y Fuerza', usa un muelle real para que observen cómo la fuerza aumenta al reducir la longitud.

Qué observarPresenta en la pizarra dos gráficas: una recta que pasa por el origen y una hipérbola. Pregunta a los alumnos: '¿Cuál de estas gráficas representa una función de proporcionalidad inversa y por qué?'. Pide que justifiquen su respuesta basándose en las características de cada función.

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Actividad 04

Estudio de caso30 min · Individual

Economía Cotidiana: Coste Unitario

Simula compras al por mayor: costes fijos para paquetes crecientes. Tabula y grafica coste unitario vs cantidad. Identifica asíntotas y predice tendencias.

¿Cómo se diferencia la gráfica de una función de proporcionalidad inversa de una lineal?

Consejo de facilitaciónDurante 'Economía Cotidiana: Coste Unitario', pide a los alumnos que comparen dos tablas con distintas constantes k para ver cómo cambia la curvatura.

Qué observarEntrega a cada alumno una tarjeta con una tabla de valores que represente una proporcionalidad inversa (ej. horas de trabajo vs. tareas completadas). Pídeles que calculen la constante k y escriban la ecuación de la función. Luego, deben dibujar las asíntotas en un sistema de coordenadas.

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Plantillas

Plantillas que acompañan estas actividades de Matemáticas

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Algunas notas para enseñar esta unidad

Enseñar proporcionalidad inversa exige combinar lo algebraico con lo geométrico. Evita empezar con la fórmula: primero haz que los alumnos trabajen con datos para que descubran la relación por sí mismos. Usa siempre ejemplos con constantes enteras para simplificar cálculos y grafica a mano antes de usar herramientas digitales. La clave está en que vean la hipérbola como una familia de curvas que comparten comportamiento asintótico, no como un objeto aislado.

Al finalizar las actividades, los alumnos identificarán correctamente las funciones de proporcionalidad inversa por su ecuación y gráfica. Podrán explicar con ejemplos reales por qué al aumentar una variable, la otra disminuye de manera no lineal y señalarán las asíntotas sin confundirlas con puntos de corte.

Atención a estas ideas erróneas

  • Durante 'Estaciones Gráficas', algunos alumnos pueden pensar que la gráfica es una recta que pasa por el origen.

    Observa sus dibujos y pregunta: '¿Por qué la curva se acerca a los ejes pero no los toca?' para guiarlos a identificar las asíntotas como líneas que nunca se cruzan.

  • Durante 'Datos Reales: Tiempo y Velocidad', es común que crean que las asíntotas se cruzan en algún punto.

    Al graficar datos de velocidad-tiempo, pide que midan la distancia entre la curva y los ejes con una regla, destacando que esa distancia se hace cada vez más pequeña pero nunca cero.

  • Durante 'Economía Cotidiana: Coste Unitario', algunos pueden pensar que la proporcionalidad inversa solo aplica en física.

    Usa la tabla de costes para mostrar cómo al aumentar el número de productos, el coste unitario disminuye, y pregunta: '¿Dónde vemos aquí que una variable aumenta cuando la otra disminuye?'

Metodologías usadas en este resumen

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