Mathématiques · Terminale · Géométrie de l'Espace · 3e Trimestre

Ensembles et sous-ensembles

Les élèves manipulent les notions d'appartenance, d'inclusion, d'intersection et de réunion d'ensembles.

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• EDNAT: MAT.TLE.73
• EDNAT: MAT.TLE.74

À propos de ce thème

La théorie des ensembles fournit le langage universel des mathématiques. En Terminale, les élèves consolident les notions d'appartenance, d'inclusion, d'intersection, de réunion et de complémentaire. Ces opérations structurent la résolution d'équations (ensemble de solutions), les probabilités (événements) et l'analyse (domaines de définition). La manipulation rigoureuse des ensembles est un prérequis pour les études supérieures en mathématiques et en informatique.

Les lois de De Morgan, qui relient complémentaire, intersection et réunion, sont un outil puissant mais souvent mal maîtrisé. La formule du cardinal de la réunion (inclusion-exclusion) permet de dénombrer les éléments quand les ensembles ne sont pas disjoints. Les activités avec des diagrammes de Venn manipulables, où les élèves colorient et comparent leurs résultats, rendent ces abstractions tangibles et facilitent l'appropriation des formules.

Questions clés

1. Comment définir le complémentaire d'un ensemble dans un univers?
2. Quelles sont les lois de De Morgan pour les ensembles?
3. Comment dénombrer les éléments d'une réunion d'ensembles non disjoints?

Objectifs d'apprentissage

• Comparer les résultats de l'application des lois de De Morgan à des ensembles donnés.
• Calculer le cardinal de la réunion de deux ensembles en utilisant la formule d'inclusion-exclusion.
• Expliquer la notion de complémentaire d'un ensemble par rapport à un univers défini.
• Identifier les ensembles et sous-ensembles pertinents dans un problème concret et appliquer les opérations d'union et d'intersection.
• Démontrer l'équivalence entre différentes formulations d'une même propriété d'ensembles.

Avant de commencer

Notions de base sur les ensembles

Pourquoi : Les élèves doivent déjà connaître la définition d'un ensemble, d'un élément, et les notations d'appartenance et de non-appartenance.

Logique élémentaire

Pourquoi : La compréhension des connecteurs logiques 'et' (correspondant à l'intersection) et 'ou' (correspondant à la réunion) est fondamentale.

Vocabulaire clé

Univers (U)	Ensemble de tous les éléments considérés dans un contexte donné. Il sert de référence pour les autres ensembles.
Complémentaire (A')	Ensemble des éléments de l'univers U qui n'appartiennent pas à l'ensemble A. On le note A' ou A barre.
Intersection (A ∩ B)	Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à l'ensemble A et à l'ensemble B.
Réunion (A ∪ B)	Ensemble des éléments qui appartiennent à l'ensemble A, ou à l'ensemble B, ou aux deux.
Cardinal (|A|)	Nombre d'éléments contenus dans un ensemble A.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

L'inclusion A ⊂ B signifie que A et B ont les mêmes éléments.

Ce qu'il faut enseigner à la place

A ⊂ B signifie que tout élément de A est aussi dans B, mais B peut contenir des éléments supplémentaires. L'égalité A = B requiert A ⊂ B et B ⊂ A. Les diagrammes de Venn dessinés en groupe rendent cette distinction visuelle et immédiate.

Idée reçue courante

Le complémentaire de A inter B est (complémentaire de A) inter (complémentaire de B).

Ce qu'il faut enseigner à la place

C'est faux : le complémentaire de A inter B est (complémentaire de A) union (complémentaire de B), d'après la loi de De Morgan. L'erreur vient de la confusion entre « et » et « ou ». Les exercices de vérification en binôme avec des exemples numériques corrigent cette confusion.

Idée reçue courante

Le cardinal de A union B est toujours card(A) + card(B).

Ce qu'il faut enseigner à la place

Ce n'est vrai que si A et B sont disjoints. Sinon, card(A union B) = card(A) + card(B) - card(A inter B), car les éléments communs sont comptés deux fois. Les sondages de classe réels montrent concrètement pourquoi il faut soustraire l'intersection.

Idées d'apprentissage actif

Galerie marchande: Diagrammes de Venn en action

Quatre stations présentent des problèmes de dénombrement contextualisés (sondage, langues parlées, options choisies, sports pratiqués). Les groupes représentent chaque situation par un diagramme de Venn, calculent les cardinaux par inclusion-exclusion et affichent leur solution.

35 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Les lois de De Morgan

Proposez un univers et deux sous-ensembles A et B. Chaque élève calcule le complémentaire de A inter B, puis le compare au résultat de (complémentaire de A) union (complémentaire de B). En binôme, ils vérifient l'égalité et formulent la loi de De Morgan dans leurs propres mots.

20 min·Binômes

Cercle de recherche: Le sondage de la classe

Recueillez des données réelles sur la classe (pratique de sports, langues étudiées, préférences). Les groupes organisent ces données en ensembles, construisent le diagramme de Venn et répondent à des questions de dénombrement. L'ancrage dans le vécu rend les formules concrètes.

30 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• En informatique, les bases de données utilisent des opérations sur les ensembles pour rechercher des informations spécifiques. Par exemple, trouver tous les clients ayant acheté le produit A ET le produit B (intersection) ou tous les clients ayant acheté le produit A OU le produit B (réunion).
• Dans le domaine des probabilités, les événements sont modélisés comme des ensembles. Calculer la probabilité qu'un événement A OU un événement B se réalise nécessite de connaître le cardinal de leur réunion, surtout s'ils ne sont pas mutuellement exclusifs.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présenter aux élèves un univers U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et deux sous-ensembles A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}. Demander : Quel est l'ensemble A ∩ B ? Quel est l'ensemble A ∪ B ? Quel est l'ensemble A' ?

Question de discussion

Poser la question : 'Expliquez avec vos propres mots pourquoi la formule |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| est nécessaire. Que se passe-t-il si l'on oublie de soustraire le cardinal de l'intersection ?' Encourager les élèves à utiliser des exemples concrets ou des diagrammes.

Billet de sortie

Donner aux élèves l'énoncé suivant : Soit U l'ensemble des élèves de la classe, A l'ensemble des élèves qui jouent au football, et B l'ensemble des élèves qui jouent au basket. Exprimer en langage courant et avec les symboles des ensembles : 1. Les élèves qui ne jouent ni au football ni au basket. 2. Les élèves qui jouent au football ou au basket (ou les deux).

Questions fréquentes

Quelles sont les lois de De Morgan pour les ensembles ?

Première loi : le complémentaire de (A inter B) est (complémentaire de A) union (complémentaire de B). Deuxième loi : le complémentaire de (A union B) est (complémentaire de A) inter (complémentaire de B). Ces lois relient les trois opérations fondamentales et sont essentielles pour simplifier les expressions ensemblistes.

Comment calculer le cardinal de la réunion de trois ensembles ?

Par la formule d'inclusion-exclusion : card(A union B union C) = card(A) + card(B) + card(C) - card(A inter B) - card(A inter C) - card(B inter C) + card(A inter B inter C). On ajoute les cardinaux individuels, on soustrait les intersections deux à deux, puis on rajoute l'intersection des trois.

Quelle est la différence entre appartenance et inclusion ?

L'appartenance (x ∈ A) lie un élément à un ensemble : x est un élément de A. L'inclusion (A ⊂ B) lie deux ensembles : tout élément de A est aussi dans B. On ne dit pas « A appartient à B » pour parler d'inclusion, c'est une erreur fréquente dans les copies.

Comment enseigner les ensembles avec des méthodes actives ?

Les sondages de classe réels sont très efficaces : les élèves collectent des données sur leurs propres caractéristiques, construisent des diagrammes de Venn et appliquent les formules de dénombrement. L'ancrage dans le vécu rend les abstractions ensemblistes concrètes et les formules d'inclusion-exclusion naturelles.