Mathématiques · Terminale · Géométrie de l'Espace · 3e Trimestre

Sommes de variables aléatoires

Les élèves étudient la linéarité de l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires.

• Programmes Officiels
• EDNAT: MAT.TLE.57
• EDNAT: MAT.TLE.58

À propos de ce thème

L'étude des sommes de variables aléatoires en Terminale se concentre sur deux propriétés fondamentales : la linéarité de l'espérance (E(X + Y) = E(X) + E(Y), toujours vraie) et la propriété de la variance (V(X + Y) = V(X) + V(Y) uniquement sous condition d'indépendance). Ces résultats sont essentiels pour analyser des situations où l'on cumule des aléas.

Les applications sont nombreuses : calcul du gain total dans un jeu répété, analyse du risque cumulé dans un portefeuille, estimation du temps total d'un processus en plusieurs étapes. L'Éducation nationale attend que les élèves sachent appliquer ces formules et, surtout, qu'ils comprennent la condition d'indépendance pour la variance.

La distinction entre espérance (toujours additive) et variance (additive seulement sous indépendance) est une source de confusion fréquente. Les activités collaboratives avec des simulations permettent aux élèves de vérifier expérimentalement ces propriétés et de comprendre intuitivement pourquoi la corrélation affecte la dispersion mais pas la moyenne.

Questions clés

1. Pourquoi l'espérance d'une somme est-elle toujours la somme des espérances?
2. Sous quelle condition la variance d'une somme est-elle la somme des variances?
3. Comment l'écart-type évolue-t-il quand on cumule des risques?

Objectifs d'apprentissage

• Calculer l'espérance et la variance d'une somme de deux variables aléatoires discrètes dans des cas simples.
• Expliquer la condition d'indépendance nécessaire pour que la variance d'une somme soit la somme des variances.
• Comparer l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes et non indépendantes.
• Analyser des situations concrètes impliquant l'addition de risques ou de gains pour appliquer les propriétés de l'espérance et de la variance.
• Démontrer la linéarité de l'espérance en utilisant la définition de l'espérance mathématique.

Avant de commencer

Variables aléatoires discrètes

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la définition d'une variable aléatoire discrète, sa loi de probabilité, son espérance et sa variance pour pouvoir travailler sur leur somme.

Indépendance d'événements

Pourquoi : La compréhension de l'indépendance des événements est fondamentale pour saisir la condition sous laquelle la variance d'une somme est additive.

Vocabulaire clé

Espérance mathématique	Valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire. Elle est toujours égale à la somme des espérances individuelles, même si les variables ne sont pas indépendantes.
Variance	Mesure de la dispersion d'une variable aléatoire autour de son espérance. Elle n'est égale à la somme des variances individuelles que si les variables aléatoires sont indépendantes.
Indépendance	Condition où la réalisation d'un événement n'influence pas la probabilité de réalisation d'un autre événement. Cruciale pour l'additivité de la variance.
Linéarité de l'espérance	Propriété affirmant que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances, quelle que soit leur dépendance.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

La variance d'une somme est toujours la somme des variances.

Ce qu'il faut enseigner à la place

C'est vrai uniquement si les variables sont indépendantes. Sinon, il faut ajouter un terme de covariance. Les simulations en groupe avec des variables corrélées (par exemple, deux dés dont l'un influence l'autre via une règle) montrent concrètement que la dispersion de la somme dépend de la corrélation.

Idée reçue courante

L'écart-type d'une somme est la somme des écarts-types.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Même sous indépendance, sigma(X+Y) = racine(sigma(X)^2 + sigma(Y)^2), pas sigma(X) + sigma(Y). C'est la loi "pythagoricienne". Le Galerie marchande avec des calculs numériques rend cette inégalité visible et mémorable.

Idée reçue courante

La linéarité de l'espérance nécessite l'indépendance.

Ce qu'il faut enseigner à la place

E(X+Y) = E(X) + E(Y) est TOUJOURS vrai, que X et Y soient indépendantes ou non. C'est un résultat remarquable. Les exercices en binômes avec des variables dépendantes vérifient numériquement que la moyenne de la somme reste la somme des moyennes, ce qui ancre ce résultat contre-intuitif.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: Le jeu des deux dés

Chaque groupe lance deux dés 50 fois, note la somme à chaque lancer. Ils calculent la moyenne et la variance empiriques de la somme, puis comparent avec les valeurs théoriques obtenues par E(X+Y) = E(X) + E(Y) et V(X+Y) = V(X) + V(Y) (dés indépendants).

35 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Espérance additive, variance non ?

Chaque élève reçoit deux variables aléatoires (l'une indépendante, l'autre corrélée à une troisième). Il calcule E et V de la somme. En binôme, ils comparent les résultats et identifient le cas où V(X+Y) diffère de V(X) + V(Y).

25 min·Binômes

Puzzle: Applications de la somme de variables aléatoires

Trois groupes d'experts préparent chacun un contexte : jeux de hasard (gain cumulé), assurance (sinistres cumulés), production (temps de fabrication total). Chaque expert rejoint un groupe mixte pour résoudre un problème combinant les trois applications.

40 min·Petits groupes

Galerie marchande: L'écart-type cumulé

Quatre stations affichent des situations avec des variables indépendantes et des données numériques. Les groupes circulent, calculent l'écart-type de la somme et notent que sigma(X+Y) n'est pas sigma(X) + sigma(Y). Chaque station exige une interprétation concrète de ce résultat.

25 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• En finance, un gestionnaire de portefeuille analyse la somme des rendements de différents actifs. Il utilise la linéarité de l'espérance pour estimer le rendement global attendu et la variance pour évaluer le risque total, en tenant compte de la corrélation entre les actifs.
• Dans le domaine des assurances, un actuaire calcule le coût total attendu des sinistres pour un groupe d'assurés. L'espérance de la somme des sinistres est la somme des espérances individuelles, mais la variance totale dépendra de la dépendance des sinistres (par exemple, un événement naturel majeur).

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Présenter aux élèves deux scénarios : 1) Le gain total à deux lancers indépendants d'un dé équilibré. 2) Le temps total pour réaliser deux tâches successives dont la durée est aléatoire et potentiellement dépendante. Demander : 'Pour quel scénario la variance du temps/gain total est-elle la somme des variances individuelles ? Justifiez.'

Question de discussion

Lancer la question : 'Pourquoi est-il plus simple de calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires que sa variance ?' Guider la discussion vers la notion d'indépendance et son impact sur la formule de la variance.

Billet de sortie

Donner aux élèves deux variables aléatoires X et Y avec leurs espérances et variances. Demander : 'Calculez E(X+Y). Si X et Y sont indépendantes, calculez V(X+Y). Si elles ne le sont pas, expliquez pourquoi vous ne pouvez pas calculer V(X+Y) avec les informations données.'

Questions fréquentes

Pourquoi l'espérance d'une somme est-elle toujours la somme des espérances ?

C'est une conséquence de la linéarité de la somme pondérée qui définit l'espérance. Que les variables soient indépendantes ou non, la moyenne d'une somme se décompose en somme des moyennes. Ce résultat simplifie considérablement les calculs dans les problèmes à plusieurs aléas.

Quand peut-on additionner les variances ?

Uniquement si les variables aléatoires sont indépendantes. Sinon, V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y), où la covariance peut être positive (risques corrélés, variance augmentée) ou négative (risques compensés, variance réduite). La condition d'indépendance annule ce terme croisé.

Comment l'écart-type évolue-t-il quand on cumule n risques indépendants identiques ?

Si X1, ..., Xn sont indépendantes de même loi, l'écart-type de la somme est sigma * racine(n), pas n * sigma. La dispersion croît moins vite que le nombre de termes. C'est le fondement de la diversification en finance et de la loi des grands nombres en statistique.

Comment les simulations aident-elles à comprendre les sommes de variables aléatoires ?

Lancer physiquement des dés et calculer la moyenne et la variance de la somme permet de vérifier les formules théoriques. Modifier les règles (dés indépendants vs dés liés) montre que l'espérance reste additive tandis que la variance change. Cette expérience rend la distinction entre les deux propriétés concrète et mémorable.