Mathématiques · Terminale · Analyse : Suites et Fonctions Continues · 1er Trimestre

Compositions de fonctions et continuité

Les élèves maîtrisent la structure g(f(x)) et ses propriétés de continuité.

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• EDNAT: MAT.TLE.09
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À propos de ce thème

La composition de fonctions est un concept structurant en Terminale qui permet de construire des fonctions complexes à partir de fonctions élémentaires. Comprendre la notation g(f(x)) et maîtriser l'ordre de composition sont essentiels pour aborder la dérivation par la règle de la chaîne, qui arrive dans les chapitres suivants. L'Éducation nationale insiste sur la capacité à décomposer une fonction en fonctions simples pour en étudier les propriétés.

La continuité de la composée repose sur un résultat fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g composée f est continue en a. Ce théorème, bien que technique, s'illustre très bien par des exemples concrets. Les approches actives sont particulièrement adaptées car la décomposition d'une fonction en briques élémentaires est un exercice créatif où plusieurs réponses sont possibles, ce qui nourrit des échanges riches entre élèves.

Questions clés

1. Comment l'ordre de composition affecte-t-il le domaine de définition?
2. Peut-on affirmer que la composée de deux fonctions continues est toujours continue?
3. Comment décomposer une fonction complexe en fonctions élémentaires?

Objectifs d'apprentissage

• Calculer le domaine de définition de la composée g(f(x)) en tenant compte des contraintes de f et de g.
• Démontrer la continuité de la composée de deux fonctions continues en un point donné, en appliquant le théorème de composition.
• Analyser la continuité d'une fonction complexe en la décomposant en fonctions élémentaires dont la continuité est connue.
• Comparer l'impact de l'ordre des fonctions f et g sur le domaine de définition et la continuité de leur composition g(f(x)) et f(g(x)).
• Créer des exemples de fonctions dont la composée est continue, même si l'une des fonctions n'est pas continue sur tout son domaine.

Avant de commencer

Domaines de définition des fonctions usuelles

Pourquoi : Les élèves doivent savoir déterminer le domaine de définition de fonctions de base (polynômes, rationnelles, racines carrées, etc.) pour pouvoir composer des fonctions.

Continuité des fonctions usuelles

Pourquoi : La compréhension de la continuité des fonctions élémentaires est nécessaire pour appliquer le théorème de composition.

Limites de fonctions

Pourquoi : Les notions de limites sont fondamentales pour comprendre la définition formelle de la continuité et pour le théorème de composition.

Vocabulaire clé

Composition de fonctions	Opération qui consiste à appliquer une fonction puis une autre fonction au résultat. On note g(f(x)) la composée de f suivie de g.
Domaine de définition	Ensemble des valeurs d'entrée possibles pour une fonction. Pour g(f(x)), il faut que x appartienne au domaine de f et que f(x) appartienne au domaine de g.
Continuité d'une fonction	Une fonction est continue en un point si son graphe peut être tracé sans lever le crayon. Formellement, la limite de la fonction en ce point est égale à sa valeur en ce point.
Théorème de composition des fonctions continues	Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors la fonction composée g o f est continue en a.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

f composée g est la même chose que g composée f.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La composition n'est pas commutative. Par exemple, si f(x) = x² et g(x) = x + 1, alors f(g(x)) = (x+1)² mais g(f(x)) = x² + 1. Un exercice en binôme où les élèves calculent les deux compositions côte à côte rend cette différence très concrète.

Idée reçue courante

Le domaine de g(f(x)) est simplement l'intersection des domaines de f et g.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Le domaine de g composée f est l'ensemble des x du domaine de f tels que f(x) appartient au domaine de g. Il faut donc vérifier une condition en deux temps. Le diagramme de machines aide les élèves à visualiser cette contrainte en cascade.

Idée reçue courante

Si f et g sont discontinues, leur composée est forcément discontinue.

Ce qu'il faut enseigner à la place

C'est faux : deux fonctions discontinues peuvent donner une composée continue. Par exemple, la composée de la fonction partie entière avec elle-même reste la partie entière, mais d'autres exemples montrent des régularisations. L'exploration en groupe de contre-exemples est très formatrice.

Idées d'apprentissage actif

Penser-Partager-Présenter: La machine à fonctions

Présentez la composition comme une chaîne de machines. Chaque élève dessine le diagramme entrée/sortie pour une fonction composée, compare avec son binôme, et ensemble ils déterminent le domaine de définition résultant.

20 min·Binômes

Puzzle: Décomposer en fonctions élémentaires

Chaque groupe reçoit une fonction complexe différente. Les élèves la décomposent en fonctions élémentaires, identifient l'ordre de composition, puis tournent pour expliquer leur décomposition à un autre groupe qui la vérifie.

30 min·Petits groupes

Galerie marchande: Domaines de définition des composées

Affichez des diagrammes de composition avec les domaines de f et g. Les élèves circulent et déterminent le domaine de g(f(x)) pour chaque cas. Ils annotent les posters en justifiant les restrictions de domaine.

25 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Continuité héritée

Les groupes reçoivent des couples de fonctions (certaines continues, d'autres non) et doivent déterminer si la composée est continue. Ils formulent une conjecture, puis la confrontent au théorème officiel. Synthèse collective.

25 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• En ingénierie logicielle, la conception d'algorithmes complexes repose sur la composition de fonctions plus simples. Par exemple, un système de recommandation peut combiner une fonction d'analyse de données utilisateur avec une fonction de filtrage de produits.
• Dans le domaine de la robotique, les trajectoires d'un bras robotique sont calculées par composition de fonctions. Chaque fonction décrit un mouvement élémentaire (rotation, translation), et leur composition permet de définir le mouvement global de l'outil en bout de bras.
• Les économistes utilisent la composition de fonctions pour modéliser des phénomènes complexes. Par exemple, une fonction de production peut être composée avec une fonction de coût pour analyser la rentabilité d'une entreprise en fonction de divers paramètres.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves la fonction h(x) = sqrt(x^2 + 1). Demandez-leur de la décomposer en deux fonctions f et g telles que h = g o f. Ensuite, demandez-leur de justifier la continuité de h sur R en utilisant le théorème de composition.

Vérification rapide

Présentez deux fonctions, par exemple f(x) = 1/x et g(x) = x - 2. Posez la question : 'Quel est le domaine de définition de g(f(x)) ? Est-elle continue sur ce domaine ?' Les élèves répondent sur une ardoise.

Question de discussion

Lancez la discussion avec la question : 'Peut-on toujours affirmer que la composée de deux fonctions continues est continue ?' Encouragez les élèves à donner des exemples qui prouvent ou infirment cette affirmation, en se concentrant sur le rôle du point d'application de la deuxième fonction.

Questions fréquentes

Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction composée ?

Pour g(f(x)), il faut que x soit dans le domaine de f ET que f(x) soit dans le domaine de g. Concrètement, on résout d'abord les conditions sur f, puis on vérifie que les valeurs prises par f satisfont les conditions de g. Par exemple, pour sqrt(ln(x)), il faut x > 0 (domaine de ln) ET ln(x) >= 0, soit x >= 1.

La composée de deux fonctions continues est-elle toujours continue ?

Oui, c'est un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g composée f est continue en a. Ce résultat est très puissant car il permet de justifier la continuité de fonctions complexes en les décomposant en fonctions élémentaires continues (polynômes, exponentielles, racines).

Comment décomposer une fonction en fonctions élémentaires ?

On identifie les opérations successives appliquées à la variable. Pour h(x) = sin(x² + 1), on pose u(x) = x² + 1 puis h = sin composée u. Pour sqrt(e^x - 3), on identifie u(x) = e^x - 3 et h = sqrt composée u. L'astuce est de repérer la dernière opération effectuée : c'est la fonction extérieure.

Comment utiliser l'apprentissage actif pour enseigner la composition de fonctions ?

La métaphore des machines est très efficace : dessinez des boîtes avec entrée et sortie, et faites circuler des valeurs dans la chaîne. Les élèves en binôme construisent leurs propres chaînes, échangent, et vérifient les domaines. Cette manipulation concrète rend naturelle la distinction entre f composée g et g composée f.