Compositions de fonctions et continuité

Les élèves de Terminale rencontrent souvent des difficultés à visualiser la composition de fonctions comme une machine qui transforme les entrées à travers plusieurs étapes. Une approche active permet de rendre concret ce processus abstrait en manipulant physiquement ou mentalement les étapes de transformation.

• Terminale
• Mathématiques : Vers l\\
• 4 activités
• 20 min–30 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer le domaine de définition de la composée g(f(x)) en tenant compte des contraintes de f et de g.
2. Démontrer la continuité de la composée de deux fonctions continues en un point donné, en appliquant le théorème de composition.
3. Analyser la continuité d'une fonction complexe en la décomposant en fonctions élémentaires dont la continuité est connue.
4. Comparer l'impact de l'ordre des fonctions f et g sur le domaine de définition et la continuité de leur composition g(f(x)) et f(g(x)).
5. Créer des exemples de fonctions dont la composée est continue, même si l'une des fonctions n'est pas continue sur tout son domaine.

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: La machine à fonctions

Présentez la composition comme une chaîne de machines. Chaque élève dessine le diagramme entrée/sortie pour une fonction composée, compare avec son binôme, et ensemble ils déterminent le domaine de définition résultant.

Préparation et détails

Comment l'ordre de composition affecte-t-il le domaine de définition?

Conseil de facilitation: Pendant l'activité 'La machine à fonctions', insistez pour que chaque binôme écrive les deux compositions f(g(x)) et g(f(x)) côte à côte sur la même feuille pour comparer directement les résultats.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Puzzle

⏱ 30 min·Petits groupes

Puzzle: Décomposer en fonctions élémentaires

Chaque groupe reçoit une fonction complexe différente. Les élèves la décomposent en fonctions élémentaires, identifient l'ordre de composition, puis tournent pour expliquer leur décomposition à un autre groupe qui la vérifie.

Préparation et détails

Peut-on affirmer que la composée de deux fonctions continues est toujours continue?

Conseil de facilitation: Pour le 'Jigsaw', formez les groupes d'experts avec des fonctions de difficultés variées et prévoyez un temps de 5 minutes pour que chaque expert prépare son explication avant de rejoindre son groupe de base.

Setup: Aménagement flexible pour faciliter les regroupements successifs

Materials: Dossiers documentaires pour les groupes d'experts, Fiche de prise de notes, Organisateur graphique de synthèse

• Comprendre
• Analyser
• Évaluer
• Compétences relationnelles
• Autogestion

Galerie marchande

⏱ 25 min·Petits groupes

Galerie marchande: Domaines de définition des composées

Affichez des diagrammes de composition avec les domaines de f et g. Les élèves circulent et déterminent le domaine de g(f(x)) pour chaque cas. Ils annotent les posters en justifiant les restrictions de domaine.

Préparation et détails

Comment décomposer une fonction complexe en fonctions élémentaires?

Conseil de facilitation: Lors du 'Gallery Walk', affichez les domaines de définition sur des feuilles A3 séparées pour que les élèves puissent annoter directement les corrections des autres groupes avec des feutres effaçables.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Cercle de recherche

⏱ 25 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Continuité héritée

Les groupes reçoivent des couples de fonctions (certaines continues, d'autres non) et doivent déterminer si la composée est continue. Ils formulent une conjecture, puis la confrontent au théorème officiel. Synthèse collective.

Préparation et détails

Comment l'ordre de composition affecte-t-il le domaine de définition?

Conseil de facilitation: Pendant l'investigation collaborative sur la continuité héritée, fournissez aux groupes une fiche avec des exemples de fonctions continues et discontinues à tester systématiquement, en guidant leur réflexion avec des questions ciblées.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples simples où les élèves peuvent calculer manuellement f(g(x)) et g(f(x)) pour se familiariser avec la non-commutativité. Évitez d'introduire trop tôt les notations complexes f∘g, privilégiez d'abord l'écriture g(f(x)) pour ancrer le concept. La recherche montre que les élèves mémorisent mieux la composition quand ils la visualisent comme une chaîne de transformations successives plutôt qu'une simple opération mathématique.

À quoi s’attendre

Les élèves sauront décomposer une fonction composée en fonctions élémentaires, expliquer pourquoi l'ordre compte, et déterminer correctement le domaine de définition d'une fonction composée. Ils pourront aussi justifier la continuité d'une composée en utilisant les propriétés des fonctions de base.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During La machine à fonctions, watch for students who assume f o g = g o f without calculating both compositions side by side.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Faites calculer aux élèves les deux compositions f(g(x)) et g(f(x)) sur le même exemple numérique comme f(x)=x² et g(x)=x+1, puis comparez les résultats pour montrer que l'ordre change le résultat final.

Idée reçue courante

During Gallery Walk, watch for students who think the domain of g(f(x)) is always the intersection of the domains of f and g.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Utilisez le diagramme de machines pour montrer que le domaine dépend aussi de l'image de f(x) qui doit appartenir au domaine de g. Demandez aux élèves de tracer des flèches entre les ensembles pour visualiser la contrainte en cascade.

Idée reçue courante

During Collaborative Investigation, watch for students who generalize that any composition of discontinuous functions is discontinuous.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Fournissez aux groupes plusieurs exemples de fonctions discontinues dont la composée est continue, comme la fonction partie entière composée avec elle-même, et demandez-leur d'expliquer pourquoi ce cas particulier fonctionne.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

After l'activité Jigsaw, demandez aux élèves de décomposer la fonction h(x) = (x² + 3)^4 en trois fonctions élémentaires f, g et k telles que h = k ∘ g ∘ f. Évaluez leur capacité à justifier chaque étape et à vérifier la continuité de h sur R.

Vérification rapide

During Gallery Walk, présentez deux fonctions f(x) = 1/x et g(x) = x - 2 sur ardoise. Demandez aux élèves d'écrire le domaine de définition de g(f(x)) et d'expliquer pourquoi cette fonction est continue sur son domaine.

Question de discussion

After Collaborative Investigation, lancez une discussion avec la question : 'Peut-on toujours affirmer que la composée de deux fonctions continues est continue ?' Utilisez les exemples explorés en groupe pour guider la réflexion et évaluer leur compréhension du théorème de composition des fonctions continues.

Extensions et étayage

• Demandez aux élèves qui ont terminé de trouver une fonction composée qui soit continue sur R mais dont les deux fonctions de base ne le sont pas, et d'expliquer pourquoi.
• Pour les élèves en difficulté, donnez une fonction composée avec des étapes intermédiaires déjà préparées et demandez-leur de vérifier chaque étape avant de poursuivre.
• Proposez une exploration plus poussée sur les fonctions trigonométriques composées, en demandant aux élèves de tracer manuellement quelques exemples pour observer les comportements périodiques et les discontinuités.

Vocabulaire clé

Composition de fonctions	Opération qui consiste à appliquer une fonction puis une autre fonction au résultat. On note g(f(x)) la composée de f suivie de g.
Domaine de définition	Ensemble des valeurs d'entrée possibles pour une fonction. Pour g(f(x)), il faut que x appartienne au domaine de f et que f(x) appartienne au domaine de g.
Continuité d'une fonction	Une fonction est continue en un point si son graphe peut être tracé sans lever le crayon. Formellement, la limite de la fonction en ce point est égale à sa valeur en ce point.
Théorème de composition des fonctions continues	Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors la fonction composée g o f est continue en a.