Mathématiques · Seconde

Idées d’apprentissage actif

Dénombrement avec des arbres de choix

Les arbres de choix transforment une notion abstraite en représentation concrète, ce qui rend le dénombrement accessible à tous les élèves. Leur construction progressive permet de visualiser les étapes successives d’une expérience aléatoire, favorisant une compréhension solide avant toute formalisation. Travailler en équipe ou par rotations renforce cette acquisition en ancrant les concepts dans la manipulation et la collaboration.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee-PRO-03
• EDNAT: Lycee-PRO-04

• 20–50 min
• Binômes → Classe entière
• 4 activités

Activité 01

• Cercle de recherche
• 45 min · Petits groupes

Cercle de recherche: Construction d'arbres en équipe

Chaque groupe reçoit un problème de dénombrement différent (code à 4 chiffres, menu à composer, tirage de cartes). Les élèves construisent l'arbre de choix sur une grande feuille, identifient le nombre total d'issues et rédigent la règle multiplicative utilisée. Les groupes échangent ensuite leurs arbres pour vérification croisée.

Comment structurer un arbre de choix pour ne pas oublier d'issues ou en compter en double ?

Conseil de facilitation

Pendant la construction collaborative, circulez entre les groupes pour repérer les erreurs de structure et poser des questions ciblées comme : 'Pourquoi cette branche disparaît-elle à la deuxième étape ?' afin d’engager une réflexion immédiate.

À observer

Présentez aux élèves une situation simple : 'Choisir une couleur parmi {rouge, bleu} puis un chiffre parmi {1, 2}.' Demandez-leur de construire l'arbre de choix correspondant et de noter le nombre total d'issues. Vérifiez la structure de l'arbre et le calcul final.

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Activité 02

• Penser-Partager-Présenter
• 20 min · Binômes

Penser-Partager-Présenter: Avec ou sans remise ?

L'enseignant propose cinq situations de tirage. Individuellement, chaque élève décide s'il s'agit d'un tirage avec ou sans remise et dessine les deux premières branches de l'arbre. En binôme, les élèves comparent leurs arbres et corrigent les incohérences. La mise en commun clarifie l'impact sur le nombre d'issues.

Quel est le lien entre le nombre d'étapes d'une expérience et le nombre total d'issues ?

Conseil de facilitation

Pour le Think-Pair-Share sur 'avec ou sans remise', distribuez des sacs de jetons et des fiches vides afin que les élèves matérialisent concrètement la réduction du nombre de choix à chaque tirage.

À observer

Sur un post-it, demandez aux élèves de décrire en une phrase la différence principale entre un arbre de choix pour un tirage avec remise et un tirage sans remise. Ils doivent aussi donner un exemple concret pour chaque cas.

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Activité 03

• Rotation par ateliers
• 50 min · Petits groupes

Rotation par ateliers: Du concret à l'abstrait

Station 1 : tirage physique de jetons dans un sac avec construction d'arbre. Station 2 : problème de combinatoire (tenues vestimentaires). Station 3 : code secret à 3 chiffres avec contraintes. Station 4 : vérification par le principe multiplicatif. Les groupes tournent toutes les 12 minutes.

Comment modéliser un tirage sans remise ou avec remise à l'aide d'un arbre ?

Conseil de facilitation

Lors de la Station Rotation, placez des objets concrets (billes, cartes) à côté des feuilles abstraites pour aider les élèves à faire le lien entre la manipulation et la représentation symbolique.

À observer

Lancez une discussion : 'Comment s'assurer qu'un arbre de choix est complet et qu'il n'y a pas de doublons ?' Encouragez les élèves à partager leurs stratégies de vérification et à expliquer pourquoi une approche systématique est importante.

• Mémoriser
• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Activité 04

• Galerie marchande
• 25 min · Petits groupes

Galerie marchande: Exposition des arbres

Les arbres produits lors de l'investigation collaborative sont affichés au mur. Chaque groupe circule, vérifie la cohérence de l'arbre d'un autre groupe, identifie les branches manquantes ou en trop, et laisse un commentaire constructif sur un post-it. Le groupe d'origine corrige ensuite.

Comment structurer un arbre de choix pour ne pas oublier d'issues ou en compter en double ?

À observer

Présentez aux élèves une situation simple : 'Choisir une couleur parmi {rouge, bleu} puis un chiffre parmi {1, 2}.' Demandez-leur de construire l'arbre de choix correspondant et de noter le nombre total d'issues. Vérifiez la structure de l'arbre et le calcul final.

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Quelques notes pour enseigner cette unité

Commencez toujours par des situations concrètes et familières, comme choisir un vêtement ou un goûter, avant d’aborder des contextes plus abstraits. Évitez de donner directement la formule du principe multiplicatif : laissez les élèves la découvrir en comptant les chemins de l’arbre. Insistez sur la vérification systématique des chemins pour éviter les oublis ou les doublons, une compétence qui servira bien au-delà de ce chapitre.

Les élèves savent représenter une expérience aléatoire en plusieurs étapes par un arbre de choix complet et sans erreur. Ils expliquent la différence entre tirage avec et sans remise et calculent correctement le nombre total d’issues en utilisant le principe multiplicatif. La vérification systématique des chemins devient une habitude naturelle.

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Attention à ces idées reçues

• During la Station Rotation : Du concret à l'abstrait, certains élèves oublient que dans un tirage sans remise, le nombre de choix diminue à chaque étape.

  Utilisez les sacs de jetons pour montrer physiquement la réduction du nombre de choix : à chaque tirage, retirez un jeton du sac et observez comment l’arbre se modifie. Demandez aux élèves de reconstruire l’arbre en parallèle pour ancrer cette compréhension.

• During la Collaborative Investigation : Construction d'arbres en équipe, les élèves confondent le nombre de branches à chaque niveau avec le nombre total d’issues.

  Après la construction des arbres, demandez à chaque groupe de compter systématiquement les chemins complets en les surlignant d’une couleur différente. Faites-leur multiplier le nombre de branches à chaque étape pour obtenir le total, et comparez ce résultat avec leur première intuition erronée.

• During le Gallery Walk : Exposition des arbres, certains élèves pensent que l’ordre des étapes dans l’arbre change le nombre total d’issues.

  Affichez deux arbres construits dans des ordres différents pour la même situation (ex. 'choisir un pantalon puis une chemise' vs 'choisir une chemise puis un pantalon'). Demandez aux élèves de comparer les deux arbres et de calculer le nombre total d’issues pour chacun afin de constater qu’il reste identique.

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Méthodes utilisées dans ce dossier

• Cercle de recherche
• Penser-Partager-Présenter
• Rotation par ateliers
• Galerie marchande