Dénombrement avec des arbres de choix

Les arbres de choix transforment une notion abstraite en représentation concrète, ce qui rend le dénombrement accessible à tous les élèves. Leur construction progressive permet de visualiser les étapes successives d’une expérience aléatoire, favorisant une compréhension solide avant toute formalisation. Travailler en équipe ou par rotations renforce cette acquisition en ancrant les concepts dans la manipulation et la collaboration.

• Seconde
• Mathématiques : Raisonnement et Modélisation
• 4 activités
• 20 min–50 min

Objectifs d’apprentissage

1. Construire des arbres de choix pour représenter toutes les issues d'une expérience aléatoire simple ou composée.
2. Calculer le nombre total d'issues d'une expérience aléatoire en utilisant la structure d'un arbre de choix.
3. Comparer la structure et le nombre d'issues d'un arbre modélisant un tirage avec remise et un tirage sans remise.
4. Analyser la pertinence d'un arbre de choix pour dénombrer les possibilités dans des situations concrètes comme la création de codes ou de menus.
5. Identifier les erreurs courantes (oublis, doublons) dans la construction d'un arbre de choix et proposer des corrections.

Cercle de recherche

⏱ 45 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Construction d'arbres en équipe

Chaque groupe reçoit un problème de dénombrement différent (code à 4 chiffres, menu à composer, tirage de cartes). Les élèves construisent l'arbre de choix sur une grande feuille, identifient le nombre total d'issues et rédigent la règle multiplicative utilisée. Les groupes échangent ensuite leurs arbres pour vérification croisée.

Préparation et détails

Comment structurer un arbre de choix pour ne pas oublier d'issues ou en compter en double ?

Conseil de facilitation: Pendant la construction collaborative, circulez entre les groupes pour repérer les erreurs de structure et poser des questions ciblées comme : 'Pourquoi cette branche disparaît-elle à la deuxième étape ?' afin d’engager une réflexion immédiate.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Avec ou sans remise ?

L'enseignant propose cinq situations de tirage. Individuellement, chaque élève décide s'il s'agit d'un tirage avec ou sans remise et dessine les deux premières branches de l'arbre. En binôme, les élèves comparent leurs arbres et corrigent les incohérences. La mise en commun clarifie l'impact sur le nombre d'issues.

Préparation et détails

Quel est le lien entre le nombre d'étapes d'une expérience et le nombre total d'issues ?

Conseil de facilitation: Pour le Think-Pair-Share sur 'avec ou sans remise', distribuez des sacs de jetons et des fiches vides afin que les élèves matérialisent concrètement la réduction du nombre de choix à chaque tirage.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Rotation par ateliers

⏱ 50 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Du concret à l'abstrait

Station 1 : tirage physique de jetons dans un sac avec construction d'arbre. Station 2 : problème de combinatoire (tenues vestimentaires). Station 3 : code secret à 3 chiffres avec contraintes. Station 4 : vérification par le principe multiplicatif. Les groupes tournent toutes les 12 minutes.

Préparation et détails

Comment modéliser un tirage sans remise ou avec remise à l'aide d'un arbre ?

Conseil de facilitation: Lors de la Station Rotation, placez des objets concrets (billes, cartes) à côté des feuilles abstraites pour aider les élèves à faire le lien entre la manipulation et la représentation symbolique.

Setup: Tables ou bureaux organisés en 4 à 6 pôles distincts dans la salle

Materials: Fiches de consignes par station, Matériel spécifique à chaque activité, Minuteur pour les rotations

• Mémoriser
• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Galerie marchande

⏱ 25 min·Petits groupes

Galerie marchande: Exposition des arbres

Les arbres produits lors de l'investigation collaborative sont affichés au mur. Chaque groupe circule, vérifie la cohérence de l'arbre d'un autre groupe, identifie les branches manquantes ou en trop, et laisse un commentaire constructif sur un post-it. Le groupe d'origine corrige ensuite.

Préparation et détails

Comment structurer un arbre de choix pour ne pas oublier d'issues ou en compter en double ?

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez toujours par des situations concrètes et familières, comme choisir un vêtement ou un goûter, avant d’aborder des contextes plus abstraits. Évitez de donner directement la formule du principe multiplicatif : laissez les élèves la découvrir en comptant les chemins de l’arbre. Insistez sur la vérification systématique des chemins pour éviter les oublis ou les doublons, une compétence qui servira bien au-delà de ce chapitre.

À quoi s’attendre

Les élèves savent représenter une expérience aléatoire en plusieurs étapes par un arbre de choix complet et sans erreur. Ils expliquent la différence entre tirage avec et sans remise et calculent correctement le nombre total d’issues en utilisant le principe multiplicatif. La vérification systématique des chemins devient une habitude naturelle.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During la Station Rotation : Du concret à l'abstrait, certains élèves oublient que dans un tirage sans remise, le nombre de choix diminue à chaque étape.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Utilisez les sacs de jetons pour montrer physiquement la réduction du nombre de choix : à chaque tirage, retirez un jeton du sac et observez comment l’arbre se modifie. Demandez aux élèves de reconstruire l’arbre en parallèle pour ancrer cette compréhension.

Idée reçue courante

During la Collaborative Investigation : Construction d'arbres en équipe, les élèves confondent le nombre de branches à chaque niveau avec le nombre total d’issues.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Après la construction des arbres, demandez à chaque groupe de compter systématiquement les chemins complets en les surlignant d’une couleur différente. Faites-leur multiplier le nombre de branches à chaque étape pour obtenir le total, et comparez ce résultat avec leur première intuition erronée.

Idée reçue courante

During le Gallery Walk : Exposition des arbres, certains élèves pensent que l’ordre des étapes dans l’arbre change le nombre total d’issues.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Affichez deux arbres construits dans des ordres différents pour la même situation (ex. 'choisir un pantalon puis une chemise' vs 'choisir une chemise puis un pantalon'). Demandez aux élèves de comparer les deux arbres et de calculer le nombre total d’issues pour chacun afin de constater qu’il reste identique.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After la Collaborative Investigation : Construction d'arbres en équipe, présentez une situation simple comme 'Choisir un fruit parmi {pomme, poire} puis un dessert parmi {glace, gâteau}'. Demandez aux élèves de construire l’arbre de choix correspondant sur leur feuille et de noter le nombre total d’issues. Ramassez les feuilles pour vérifier la structure de l’arbre et le calcul final.

Billet de sortie

After la Station Rotation : Du concret à l'abstrait, distribuez un post-it et demandez aux élèves d’écrire en une phrase la différence principale entre un arbre de choix pour un tirage avec remise et un tirage sans remise. Ils doivent aussi donner un exemple concret pour chaque cas, en s’appuyant sur les manipulations réalisées pendant la rotation.

Question de discussion

During le Think-Pair-Share : Avec ou sans remise ?, lancez une discussion en demandant : 'Comment s’assurer qu’un arbre de choix est complet et qu’il n’y a pas de doublons ?' Encouragez les élèves à partager leurs stratégies de vérification (surlignage, numérotation des chemins, vérification croisée) et à expliquer pourquoi une approche systématique est cruciale pour éviter les erreurs.

Extensions et étayage

• Challenge : Proposez une situation à 4 étapes avec des choix variables (ex. 3 couleurs, puis 2 motifs, puis 2 tailles, puis 2 finitions) et demandez aux élèves de construire l’arbre et de calculer le nombre total d’issues. Demandez-leur ensuite de généraliser une formule pour n étapes avec des choix arbitraires.
• Scaffolding : Pour les élèves en difficulté, fournissez des arbres partiellement remplis avec des branches à compléter ou des choix à identifier. Utilisez des couleurs pour distinguer les étapes et renforcer la structure.
• Deeper exploration : Introduisez le concept de probabilités conditionnelles en demandant aux élèves de calculer la probabilité d’un chemin spécifique dans un arbre de choix donné.

Vocabulaire clé

Arbre de choix	Représentation graphique séquentielle des différentes étapes d'une expérience aléatoire, où chaque branche symbolise un choix possible et chaque chemin complet une issue.
Issue	Résultat possible d'une expérience aléatoire. Dans un arbre de choix, une issue correspond à un chemin allant de la racine à une feuille.
Étape	Phase distincte d'une expérience aléatoire où un choix est effectué. Le nombre d'étapes détermine la profondeur de l'arbre de choix.
Tirage avec remise	Opération où un élément choisi est réintégré dans l'ensemble avant le choix suivant, permettant sa sélection à nouveau.
Tirage sans remise	Opération où un élément choisi n'est pas réintégré dans l'ensemble, empêchant sa sélection lors des choix suivants.