Boucles Bornées et Non Bornées

Les boucles bornées et non bornées demandent une compréhension fine de la logique algorithmique, où la passivité ne suffit pas. En manipulant concrètement des structures de contrôle, les élèves ancrent leur raisonnement dans des exemples qui révèlent pourquoi une boucle for évite des erreurs de compteur ou pourquoi une boucle while peut échapper à un arrêt si mal encadré.

• Première
• Analyse, Fonctions et Modélisation Mathématique
• 4 activités
• 25 min–45 min

Objectifs d’apprentissage

1. Comparer l'efficacité de l'utilisation d'une boucle 'pour' par rapport à une boucle 'tant que' pour résoudre des problèmes algorithmiques spécifiques.
2. Identifier et corriger les conditions menant à une boucle infinie dans un algorithme donné.
3. Calculer la somme ou le produit des termes d'une suite mathématique en utilisant une boucle bornée.
4. Démontrer la nécessité d'une boucle non bornée pour des processus dont le critère d'arrêt n'est pas prédéterminé.
5. Concevoir un algorithme utilisant une boucle pour modéliser une situation itérative simple, comme une approximation.

Résolution de problèmes en collaboration

⏱ 25 min·Binômes

Défi Paires: Somme avec Boucle For

En paires, les élèves codent une boucle for pour calculer la somme des n premiers entiers. Ils testent avec n=100, comparent au formule analytique et ajustent le code. Discussion finale sur l'efficacité.

Préparation et détails

Quand doit-on privilégier une boucle "tant que" sur une boucle "pour" ?

Conseil de facilitation: Pendant le Défi Paires, circulez pour vérifier que les binômes expliquent à voix haute leur choix de boucle, même pour des cas évidents comme la somme de 1 à 10.

Setup: Travail en îlots avec supports de travail

Materials: Dossier de la situation-problème, Cartes de rôles (facilitateur, secrétaire, etc.), Fiche de protocole de résolution, Grille d'évaluation de la solution

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Compétences relationnelles
• Prise de décision
• Autogestion

Résolution de problèmes en collaboration

⏱ 45 min·Petits groupes

Rotation Groupes: Debug While Infinie

Quatre stations avec codes while buggés (compteur manquant, condition fausse). Groupes identifient l'erreur, corrigent et expliquent. Rotation toutes les 10 minutes, restitution collective.

Préparation et détails

Comment éviter le piège d'une boucle infinie ?

Conseil de facilitation: Pour la Rotation Groupes, imposez un temps de pause après chaque simulation de boucle infinie pour que les élèves notent les symptômes précis sans se contenter d'une intuition vague.

Setup: Travail en îlots avec supports de travail

Materials: Dossier de la situation-problème, Cartes de rôles (facilitateur, secrétaire, etc.), Fiche de protocole de résolution, Grille d'évaluation de la solution

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Compétences relationnelles
• Prise de décision
• Autogestion

Résolution de problèmes en collaboration

⏱ 35 min·Individuel

Individuel: Approximation Pi par While

Chaque élève implémente une boucle while pour approximer π via séries alternées, avec critère d'arrêt sur précision. Ils tracent l'évolution et partagent résultats en plénière.

Préparation et détails

Comment utiliser une boucle pour calculer une somme ou un produit ?

Conseil de facilitation: Lors de l’Approximation Pi par While, demandez aux élèves d’annoter leur code avec les valeurs des variables à chaque itération pour visualiser la convergence.

Setup: Travail en îlots avec supports de travail

Materials: Dossier de la situation-problème, Cartes de rôles (facilitateur, secrétaire, etc.), Fiche de protocole de résolution, Grille d'évaluation de la solution

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Compétences relationnelles
• Prise de décision
• Autogestion

Résolution de problèmes en collaboration

⏱ 30 min·Classe entière

Classe Entière: Quiz Interactif For/While

Projetions de problèmes : élèves votent for ou while, codent en direct sur paperboard. Correction immédiate et vote sur pièges potentiels.

Préparation et détails

Quand doit-on privilégier une boucle "tant que" sur une boucle "pour" ?

Setup: Travail en îlots avec supports de travail

Materials: Dossier de la situation-problème, Cartes de rôles (facilitateur, secrétaire, etc.), Fiche de protocole de résolution, Grille d'évaluation de la solution

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Compétences relationnelles
• Prise de décision
• Autogestion

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples où la boucle for est naturelle, comme parcourir un tableau, pour ancrer l’idée d’itérations prévisibles. Ensuite, introduisez les boucles while avec des situations où la condition dépend d’une variable externe, comme une approximation numérique. Insistez sur les traces manuelles : demander aux élèves de mimer la boucle avec des jetons ou des cases à cocher les aide à voir l’évolution des variables. Évitez de présenter les deux types de boucles en parallèle sans contexte clair, car cela brouille leur utilité respective.

À quoi s’attendre

À l'issue des activités, chaque élève sait choisir entre une boucle for et while en justifiant son choix par la nature du problème. Ils repèrent les conditions d'arrêt implicites et évitent les pièges classiques comme les boucles infinies ou les compteurs mal initialisés, avec des traces d'exécution claires.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During Défi Paires, certains élèves pourraient croire que toute boucle peut s’écrire indifféremment avec for ou while.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant le Défi Paires, demandez aux binômes de classer les problèmes résolus selon qu’ils nécessitent une boucle bornée ou non, puis de justifier pourquoi une boucle for serait maladroite pour un problème comme 'afficher les nombres pairs jusqu’à 20'.

Idée reçue courante

During Rotation Groupes, des élèves pourraient penser qu’une boucle while s’arrête toujours si on écrit une condition.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant la Rotation Groupes, utilisez une boucle while volontairement mal initialisée (ex : `while n != 10` avec `n = 11`) pour montrer que sans évolution de la variable, la boucle ne s’arrête pas. Demandez aux groupes de corriger le code en ajoutant un compteur sécurisé.

Idée reçue courante

During Individuel: Approximation Pi par While, des élèves pourraient croire que for et while donneront le même résultat pour toute approximation.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pendant l’Approximation Pi par While, comparez les versions for et while d’un même algorithme en demandant aux élèves de noter les différences de comportement sur un nombre limité d’itérations, notamment quand la boucle while s’arrête plus tôt que prévu.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After Défi Paires, présentez aux élèves deux courts algorithmes : l'un utilisant une boucle for pour sommer les 20 premiers entiers pairs, l'autre une boucle while pour trouver le premier multiple de 7 supérieur à 100. Demandez-leur d'identifier le type de boucle et d'expliquer pourquoi ce choix est nécessaire.

Billet de sortie

After Rotation Groupes, donnez aux élèves le fragment de code suivant : `i = 0; while i < 5: print(i); i = i * 2`. Demandez-leur d'écrire sur un post-it : 1. Le type de boucle. 2. La condition d'arrêt. 3. Ce qui se passera lors de l'exécution et pourquoi, en traçant les valeurs de i.

Question de discussion

During Quiz Interactif For/While, posez la question suivante : 'Si vous devez écrire un programme pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres sans connaître leur taille à l'avance, quel type de boucle utiliseriez-vous et pourquoi ? Comment vous assurerez-vous que votre programme ne boucle pas indéfiniment ?'

Extensions et étayage

• Challenge : Proposez aux élèves de réécrire un algorithme utilisant une boucle for pour une approximation de racine carrée en utilisant une boucle while, puis demandez-leur de comparer les deux versions en termes de lignes de code et de clarté.
• Scaffolding : Pour les élèves qui confondent les boucles, donnez-leur des fragments de code incomplets avec des trous à remplir pour choisir la boucle adaptée, accompagnés de consignes simplifiées comme 'Le nombre d’itérations est connu' ou 'La condition dépend d’un calcul' pour les guider.
• Deeper exploration : Invitez les élèves à concevoir un mini-jeu où une boucle while gère les interactions avec l’utilisateur (ex : deviner un nombre) et une boucle for gère l’affichage d’un tableau de scores, en justifiant chaque choix dans un commentaire de code.

Vocabulaire clé

Boucle bornée	Une structure de répétition dont le nombre d'itérations est connu à l'avance ou déterminé par une variable finie, typiquement une boucle 'pour'.
Boucle non bornée	Une structure de répétition dont le nombre d'itérations dépend d'une condition qui peut évoluer pendant l'exécution, souvent une boucle 'tant que'.
Itération	Chaque répétition d'un bloc d'instructions à l'intérieur d'une boucle.
Condition d'arrêt	L'expression booléenne qui détermine si une boucle doit continuer à s'exécuter ou s'arrêter.
Variable de contrôle	Une variable utilisée pour suivre le nombre d'itérations ou pour évaluer la condition d'arrêt d'une boucle.