Mathématiques · Première

Idées d’apprentissage actif

Algorithmes de Recherche et de Seuil

Pour que les élèves comprennent les algorithmes de recherche et de seuil, l’apprentissage actif transforme des concepts abstraits en expériences tangibles. Manipuler des cartes, comparer des méthodes ou concevoir leurs propres algorithmes leur permet de saisir pourquoi la recherche dichotomique est efficace ou quand le balayage linéaire suffit, bien au-delà d’une simple mémorisation.

• Programmes Officiels
• EDNAT: Lycee - Algorithmique
• EDNAT: Lycee - Analyse

• 15–30 min
• Binômes → Classe entière
• 4 activités

Activité 01

• Apprentissage par problèmes
• 20 min · Binômes

Simulation Manuelle: Recherche Dichotomique sur Cartes

Distribuez des paquets de cartes numérotées triées à chaque paire. Un élève pense à une valeur cible, l'autre pose des questions pour la trouver par dichotomie en divisant le paquet. Comparez le nombre d'étapes avec un balayage simulé et enregistrez les résultats.

Comment optimiser la recherche d'une valeur dans une liste triée ?

Conseil de facilitation

Pendant la Simulation Manuelle : Recherche Dichotomique sur Cartes, circulez entre les groupes pour vérifier que les élèves trient les cartes AVANT de commencer la recherche, sans correction immédiate pour qu’ils observent eux-mêmes l’échec d’un tri incomplet.

À observer

Donnez aux élèves une liste triée de 10 nombres et une valeur cible. Demandez-leur de décrire les étapes de la recherche dichotomique pour trouver la valeur. Ensuite, demandez-leur de calculer le nombre maximum de comparaisons nécessaires.

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Prise de décision
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Activité 02

• Apprentissage par problèmes
• 30 min · Petits groupes

Petits Groupes: Balayage pour Racine de Fonction

En petits groupes, tracez une fonction continue comme f(x) = x² - 2 sur du papier millimétré. Appliquez le balayage en évaluant aux points entiers jusqu'au changement de signe. Estimez la racine et discutez de la précision obtenue.

Comment l'algorithme de balayage permet-il d'estimer une racine de fonction ?

Conseil de facilitation

Lors du Balayage pour Racine de Fonction en petits groupes, demandez aux élèves de noter le nombre d’itérations nécessaires pour des intervalles de tailles différentes afin de préparer la comparaison de complexité.

À observer

Présentez une fonction simple (ex: f(x) = x^2 - 4) et un intervalle. Demandez aux élèves d'écrire les premières étapes d'un algorithme de balayage pour trouver une racine, en précisant le critère d'arrêt (changement de signe).

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Prise de décision
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Activité 03

• Apprentissage par problèmes
• 15 min · Classe entière

Classe Entière: Comparaison de Complexité

Projetez des listes triées de tailles 8, 16, 32. La classe prédit collectivement les comparaisons pour dichotomie et balayage. Calculez les moyennes et tracez les courbes intuitives de complexité sur le tableau.

Quelle est la complexité intuitive d'un algorithme de recherche ?

Conseil de facilitation

Pour la Comparaison de Complexité en classe entière, utilisez un chronomètre visible pour mesurer le temps réel d’exécution des deux méthodes sur des listes de 20 éléments, puis discutez des écarts observés.

À observer

Posez la question : 'Dans quelle situation préféreriez-vous utiliser une recherche par balayage plutôt qu'une recherche dichotomique, et pourquoi ?' Guidez la discussion vers des cas où la liste n'est pas triée ou lorsque le seuil est recherché près du début.

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Prise de décision
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Activité 04

• Apprentissage par problèmes
• 25 min · Individuel

Individuel: Conception d'Algorithme Personnel

Chaque élève crée une liste triée et un algorithme de seuil personnalisé sur papier. Testez-le sur des exemples fournis, notez les étapes et la complexité estimée. Partagez un exemple en plénière.

Comment optimiser la recherche d'une valeur dans une liste triée ?

À observer

Donnez aux élèves une liste triée de 10 nombres et une valeur cible. Demandez-leur de décrire les étapes de la recherche dichotomique pour trouver la valeur. Ensuite, demandez-leur de calculer le nombre maximum de comparaisons nécessaires.

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Prise de décision
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Quelques notes pour enseigner cette unité

Commencez par des activités concrètes avant toute formalisation théorique. Les élèves ont besoin de vivre l’échec d’un algorithme inapproprié (comme une recherche dichotomique sur une liste non triée) pour en comprendre les limites. Évitez de présenter les algorithmes comme des recettes à suivre : privilégiez l’exploration guidée où ils formulent eux-mêmes les étapes. La complexité se comprend mieux par le comptage d’opérations que par des formules abstraites, surtout en première.

Les élèves distinguent clairement les conditions d’utilisation de chaque algorithme, expliquent leur complexité par le nombre de comparaisons et choisissent la méthode adaptée selon le contexte. Leur travail montre une progression de la compréhension : de l’exécution mécanique à la justification algorithmique.

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Attention à ces idées reçues

• During Simulation Manuelle : Recherche Dichotomique sur Cartes, les élèves pensent que la recherche dichotomique fonctionne sur n'importe quelle liste.

  Pendant cette activité, demandez aux élèves de tenter une recherche dichotomique sur une liste non triée et observez leur réaction quand l’algorithme échoue. Utilisez ce moment pour reformuler collectivement la condition de tri préalable, en les faisant lister les cartes dans l’ordre avant de relancer la recherche.

• During Classe Entière : Comparaison de Complexité, les élèves croient que le balayage est toujours moins efficace que la dichotomie.

  Lors de cette activité, présentez des listes très courtes ou des seuils proches du début de la liste. Faites compter les comparaisons nécessaires pour chaque méthode et demandez aux élèves de décrire dans quelles situations le balayage semble plus simple, même s’il est moins efficace sur le long terme.

• During Comparaison de Complexité en classe entière, les élèves confondent la complexité avec le temps d'exécution total mesuré en secondes.

  Pendant la discussion en classe entière, recentrez l’attention sur le nombre de comparaisons comme mesure de complexité. Comptez à voix haute les opérations pour chaque méthode sur des exemples simples, en insistant sur le fait que la complexité se mesure en opérations clés, pas en secondes.

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Méthodes utilisées dans ce dossier

• Apprentissage par problèmes